Вивчення точного предмета: натуральні числа - це якісь числа, приклади і властивості. Натуральні числа Як називаються компоненти множення

Натуральні числадля нас дуже звичні та природні. І це не дивно, тому що знайомство з ними починається з перших років нашого життя на інтуїтивно зрозумілому рівні.

Інформація цієї статті створює базове уявлення про натуральні числа, розкриває їх призначення, прищеплює навички запису та читання натуральних чисел. Для кращого засвоєння матеріалу наведено необхідні приклади та ілюстрації.

Навігація на сторінці.

Натуральні числа – загальне уявлення.

Не позбавлено здорової логіки таку думку: поява завдання рахунку предметів (перший, другий, третій предмет тощо) та завдання вказівки кількості предметів (один, два, три предмети тощо) зумовило створення інструменту для її вирішення, цим інструментом з'явилися натуральні числа.

З цієї пропозиції видно основне призначення натуральних чисел- нести в собі інформацію про кількість будь-яких предметів або порядковий номер даного предмета в розглянутій множині предметів.

Щоб людина могла використовувати натуральні числа, вони мають бути якимось чином доступні як сприйняття, так відтворення. Якщо озвучити кожне натуральне число, воно стане сприймається на слух, а якщо зобразити натуральне число, то його можна буде побачити. Це природні способи, що дозволяють донести і сприйняти натуральні числа.

Так приступимо до придбання навичок зображення (запису) і навичок озвучування (читання) натуральних чисел, пізнаючи при цьому їх зміст.

Десятковий запис натурального числа.

Спочатку слід визначитися з тим, від чого ми відштовхуватимемося при записі натуральних чисел.

Давайте запам'ятаємо зображення наступних знаків (покажемо їх через кому): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Наведені зображення є запис так званих цифр. Давайте відразу домовимося не перевертати, не нахиляти та іншим чином не спотворювати цифри під час запису.

Тепер умовимося, що в записі будь-якого натурального числа можуть бути присутні лише зазначені цифри і не можуть бути відсутні інші символи. Також умовимося, що цифри в записі натурального числа мають однакову висоту, розташовуються в рядок один за одним (з майже відсутніми відступами) і зліва знаходиться цифра, відмінна від цифри 0 .

Наведемо кілька прикладів правильного запису натуральних чисел: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (Зверніть увагу: відступи між цифрами не завжди однакові, докладніше про це буде сказано під час розгляду). З наведених прикладів видно, що в записі натурального числа не обов'язково присутні всі цифри 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; деякі або всі цифри, що беруть участь у записі натурального числа, можуть повторюватися.

Записи 014 , 0005 , 0 , 0209 не є записами натуральних чисел, тому що зліва знаходиться цифра 0 .

Запис натурального числа, виконаний з урахуванням усіх вимог, описаних у цьому пункті, називається десятковим записом натурального числа.

Далі ми не розмежовуватимемо натуральні числа та їх запис. Пояснимо це: далі в тексті будуть використовуватись фрази типу «дано натуральне число 582 », які означатимуть, що дано натуральне число, запис якого має вигляд 582 .

Натуральні числа щодо кількості предметів.

Настав час розібратися з кількісним змістом, який містить у собі записане натуральне число. Сенс натуральних чисел у плані нумерації предметів розглянуто у статті порівняння натуральних чисел.

Почнемо з натуральних чисел, записи яких збігаються із записами цифр, тобто з чисел 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 і 9 .

Уявимо, що ми розплющили очі і побачили деякий предмет, наприклад, ось такий . У цьому випадку можна записати, що ми бачимо 1 предмет. Натуральне число 1 читається як « один» (відмінювання чисельного «один», а також інших числівників, дамо в пункті ), для числа 1 прийнято ще одну назву - « одиниця».

Проте, термін «одиниця» - багатозначний, ним крім натурального числа 1 , називають щось, що розглядається як єдине ціле. Наприклад, будь-який один предмет із їх множини можна назвати одиницею. Наприклад, будь-яке яблуко з безлічі яблук – це одиниця, кожна зграя птахів із безлічі зграй птахів – це також одиниця тощо.

Тепер відкриваємо очі та бачимо: . Тобто ми бачимо один предмет та ще один предмет. У цьому випадку можна записати, що ми бачимо 2 предмета. Натуральне число 2 , читається як « два».

Аналогічно, - 3 предмета (читається « три» предмета), - 4 (« чотири») предмета, - 5 (« п'ять»), - 6 (« шість»), - 7 (« сім»), - 8 (« вісім»), - 9 (« дев'ять») предметів.

Отже, з розглянутої позиції натуральні числа 1 , 2 , 3 , …, 9 вказують кількістьпредметів.

Число, запис якого збігається із записом цифри 0 , називають « нуль». Число нуль не натуральне, проте його зазвичай розглядають разом з натуральними числами. Запам'ятаємо: нуль означає відсутність чогось. Наприклад, нуль предметів – це жодного предмета.

У наступних пунктах статті ми продовжимо розкривати зміст натуральних чисел щодо вказівки кількості.

Однозначні натуральні числа.

Очевидно запис кожного з натуральних чисел 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 складається з одного знака – однієї цифри.

Визначення.

Однозначні натуральні числа- Це натуральні числа, запис яких складається з одного знака - однієї цифри.

Перерахуємо всі однозначні натуральні числа: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Усього однозначних натуральних чисел дев'ять.

Двозначні та тризначні натуральні числа.

Спочатку дамо визначення двозначних натуральних чисел.

Визначення.

Двозначні натуральні числа- Це натуральні числа, запис яких становлять два знаки - дві цифри (різні або однакові).

Наприклад, натуральне число 45 – двозначне, числа 10 , 77 , 82 теж двозначні, а 5 490 , 832 , 90 037 - Не двозначні.

Давайте розберемося, який сенс несуть у собі двозначні числа, при цьому відштовхуватимемося від відомого нам кількісного сенсу однозначних натуральних чисел.

Для початку введемо поняття десятка.

Уявимо таку ситуацію – ми розплющили очі і побачили безліч, що складається з дев'яти предметів та ще одного предмета. У цьому випадку говорять про 1 десятці (одному десятку) предметів. Якщо розглядають разом один десяток та ще один десяток, то говорять про 2 десятках (двох десятках). Якщо до двох десятків приєднати ще один десяток, то матимемо три десятки. Продовжуючи цей процес, будемо отримувати чотири десятки, п'ять десятків, шість десятків, сім десятків, вісім десятків і, нарешті, дев'ять десятків.

Тепер ми можемо перейти до суті двоцифрових натуральних чисел.

Для цього подивимося на двозначне число як на два однозначні числа – одне знаходиться ліворуч у записі двозначного числа, інше знаходиться праворуч. Число зліва вказує кількість десятків, а число праворуч – кількість одиниць. При цьому, якщо праворуч у записі двозначного числа знаходиться цифра 0 , Це означає відсутність одиниць. У цьому вся є сенс двозначних натуральних чисел щодо вказівки кількості.

Наприклад, двозначне натуральне число 72 відповідає 7 десяткам і 2 одиницям (тобто, 72 яблука – це безліч із семи десятків яблук і ще двох яблук), а число 30 відповідає 3 десяткам і 0 одиницям, тобто одиниць, які не об'єднані в десятки, немає.

Відповімо на запитання: «Скільки всього існує двоцифрових натуральних чисел»? Відповідь: їх 90 .

Переходимо до визначення тризначних натуральних чисел.

Визначення.

Натуральні числа, запис яких складається з 3 знаків – 3 цифр (різних або повторюваних), називаються тризначними.

Прикладами натуральних трицифрових чисел є 372 , 990 , 717 , 222 . Натуральні числа 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 є тризначними.

Для розуміння сенсу, закладеного у тризначних натуральних числах, нам знадобиться поняття сотні.

Безліч із десяти десятків – це 1 сотня (одна сотня). Сотня та сотня – це 2 сотні. Дві сотні та ще одна сотня – це три сотні. І так далі маємо чотири сотні, п'ять сотень, шість сотень, сім сотень, вісім сотень, і, нарешті, дев'ять сотень.

Тепер подивимося на тризначне натуральне число як на три однозначні натуральні числа, що йдуть один за одним праворуч наліво в записи тризначного натурального числа. Число праворуч вказує кількість одиниць, наступне число вказує кількість десятків, наступне число – кількість сотень. Цифри 0 у запису тризначного числа означають відсутність десятків та (або) одиниць.

Таким чином, тризначне натуральне число 812 відповідає 8 сотням, 1 десятку і 2 одиницям; число 305 – трьом сотням ( 0 десяткам, тобто, десятків, не об'єднаних у сотні, немає) і 5 одиницям; число 470 – чотирьом сотням та семи десяткам (одиниць, не об'єднаних у десятки, немає); число 500 – п'яти сотням (десятків, не об'єднаних у сотні, та одиниць, не об'єднаних у десятки, немає).

Аналогічно можна дати визначення чотиризначних, п'ятизначних, шестизначних і т.д. натуральних чисел.

Багатозначні натуральні числа.

Отже, переходимо до визначення багатозначних натуральних чисел.

Визначення.

Багатозначні натуральні числа- Це натуральні числа, запис яких складається з двох або трьох або чотирьох і т.д. символів. Інакше кажучи, багатозначні натуральні числа – це двозначні, тризначні, чотиризначні тощо. числа.

Відразу скажемо, що безліч, що складається з десяти сотень, це одна тисяча, тисяча тисяч - це один мільйон, тисяча мільйонів – це один мільярд, тисяча мільярдів – це один трильйон. Тисячі трильйонів, тисячі тисяч трильйонів і так далі можна дати свої назви, але в цьому немає особливої ​​потреби.

То який сенс ховається за багатозначними натуральними числами?

Подивимося на багатозначне натуральне число як наступні одне одним праворуч наліво однозначні натуральні числа. Число праворуч вказує кількість одиниць, наступне число – кількість десятків, наступне – кількість сотень, далі – кількість тисяч, далі – кількість десятків тисяч, далі – сотень тисяч, далі – кількість мільйонів, далі – кількість десятків мільйонів, далі – сотень мільйонів, далі – кількість мільярдів, далі – кількість десятків мільярдів, далі – сотень мільярдів, далі – трильйонів, далі – десятків трильйонів, далі – сотень трильйонів тощо.

Наприклад, багатозначне натуральне число 7 580 521 відповідає 1 одиниці, 2 десяткам, 5 сотням, 0 тисячам, 8 десяткам тисяч, 5 сотням тисяч і 7 мільйонів.

Таким чином, ми навчилися групувати одиниці в десятки, десятки в сотні, сотні в тисячі, тисячі в десятки тисяч тощо і з'ясували, що цифри в записі багатозначного натурального числа вказують відповідну кількість перерахованих вище груп.

Читання натуральних чисел, класи.

Ми згадували, як читаються однозначні натуральні числа. Вивчимо вміст наступних таблиць напам'ять.

А як читаються інші двоцифрові числа?

Пояснимо на прикладі. Прочитаємо натуральне число 74 . Як ми з'ясували вище, це число відповідає 7 десяткам і 4 одиницям, тобто, 70 і 4 . Звертаємось до щойно записаних таблиць, і число 74 читаємо як: «Сімдесят чотири» (союз «і» не вимовляємо). Якщо потрібно прочитати число 74 у реченні: «Ні 74 яблук» (родовий відмінок), то це звучатиме так: «Немає сімдесяти чотирьох яблук». Ще приклад. Число 88 – це 80 і 8 , Отже, читаємо: «Вісімдесят вісім». А ось приклад пропозиції: «Він думає про вісімдесят вісім рублів».

Переходимо до читання трицифрових натуральних чисел.

Для цього нам доведеться вивчити ще кілька нових слів.

Залишилося показати, як читаються решта тризначних натуральних чисел. При цьому використовуватимемо вже отримані навички читання однозначних та двозначних чисел.

Розберемо приклад. Прочитаємо число 107 . Це число відповідає 1 сотні та 7 одиницям, тобто, 100 і 7 . Звернувшись до таблиць, читаємо: «Сто сім». А тепер скажемо число 217 . Це число є 200 і 17 тому читаємо: «Двісті сімнадцять». Аналогічно, 888 – це 800 (вісімсот) та 88 (вісімдесят вісім), читаємо: «Вісімсот вісімдесят вісім».

Переходимо до читання багатозначних чисел.

Для читання запис багатозначного натурального числа розбивається, починаючи праворуч, на групи по три цифри, при цьому в лівій такій групі може виявитися або 1 , або 2 , або 3 цифри. Ці групи називаються класами. Клас, що знаходиться праворуч, називають класом одиниць. Наступний за ним (справа наліво) клас називають класом тисяч, наступний клас – класом мільйонів, наступний – класом мільярдів, далі йде клас трильйонів. Можна дати назви і наступних класів, але натуральні числа, запис яких складається з 16 , 17 , 18 і т.д. символів, зазвичай, не читають, оскільки їх дуже важко сприйняти на слух.

Подивіться на приклади розбиття багатозначних чисел на класи (для наочності класи відокремлюють один від одного невеликим відступом): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Занесемо записані натуральні числа до таблиці, якою легко навчитися їх читати.

Щоб прочитати натуральне число, називаємо зліва направо складові його числа за класами та додаємо назву класу. При цьому не вимовляємо назву класу одиниць, а також пропускаємо ті класи, які складають три цифри 0 . Якщо в записі класу зліва знаходиться цифра 0 або дві цифри 0 , то ігноруємо ці цифри 0 та читаємо число, отримане відкиданням цих цифр 0 . Наприклад, 002 прочитаємо як «два», а 025 - як "двадцять п'ять".

Прочитаємо число 489 002 за наведеними правилами.

Читання ведемо зліва направо,

• читаємо число 489 , Що представляє клас тисяч, - «чотирисот вісімдесят дев'ять»;
• додаємо назву класу, отримуємо «чотириста вісімдесят дев'ять тисяч»;
• далі в класі одиниць бачимо 002 , зліва знаходяться нулі, їх ігноруємо, тому 002 читаємо як "два";
• назву класу одиниць додавати не треба;
• у результаті маємо 489 002 – «чотириста вісімдесят дев'ять тисяч дві».

Приступаємо до читання числа 10 000 501 .

• Ліворуч у класі мільйонів бачимо число 10 читаємо «десять»;
• додаємо назву класу, маємо "десять мільйонів";
• далі бачимо запис 000 у класі тисяч, тому що всі три цифри є цифри 0 , То пропускаємо цей клас і переходимо до наступного;
• клас одиниць представляє число 501 , яке читаємо "п'ятсот один";
• таким чином, 10 000 501 - Десять мільйонів п'ятсот один.

Зробимо це без докладних пояснень: 1 789 090 221 214 – «один трильйон сімсот вісімдесят дев'ять мільярдів дев'яносто мільйонів двісті двадцять одна тисяча двісті чотирнадцять».

Отже, в основі навички читання багатозначних натуральних чисел лежить уміння розбивати багатозначні числа на класи, знання назв класів та вміння читати трицифрові числа.

Розряди натуральної кількості, значення розряду.

У записі натурального числа значення кожної цифри залежить від позиції. Наприклад, натуральне число 539 відповідає 5 сотням, 3 десяткам і 9 одиницям, отже, цифра 5 у записі числа 539 визначає кількість сотень, цифра 3 – кількість десятків, а цифра 9 - кількість одиниць. При цьому кажуть, що цифра 9 стоїть у розряд одиницьта число 9 є значенням розряду одиниць, цифра 3 стоїть у розряді десятківта число 3 є значенням розряду десятків, а цифра 5 – у розряді сотеньта число 5 є значенням розряду сотень.

Таким чином, розряд– це з одного боку позиція цифри у записі натурального числа, з другого боку значення цієї цифри, обумовлене її позицією.

Розрядам надано назви. Якщо дивитися на цифри в записі натурального числа справа наліво, то їм відповідатимуть такі розряди: одиниць, десятків, сотень, тисяч, десятків тисяч, сотень тисяч, мільйонів, десятків мільйонів тощо.

Назви розрядів зручно запам'ятовувати, коли представлені у вигляді таблиці. Запишемо таблицю, що містить назви 15 розрядів.

Зауважимо, що кількість розрядів даного натурального числа дорівнює кількості знаків, що у запису цього числа. Таким чином, записана таблиця містить назви розрядів всіх натуральних чисел, запис яких містить до 15 знаків. Наступні розряди також мають свої назви, але дуже рідко використовуються, тому немає сенсу їх згадувати.

За допомогою таблиці розрядів зручно визначати розряди цього натурального числа. Для цього потрібно записати в цю таблицю дане натуральне число так, щоб у кожному розряді виявилася одна цифра і крайня справа цифра опинилася в розряді одиниць.

Наведемо приклад. Запишемо натуральне число 67 922 003 942 таблицю, у своїй стануть чітко видно розряди і значення цих розрядів.

У записі цієї цифри цифра 2 стоїть у розряді одиниць, цифра 4 – у розряді десятків, цифра 9 - У розряді сотень і т.д. Слід звернути увагу до цифри 0 , що знаходяться в розрядах десятків тисяч і сотень тисяч. Цифри 0 у цих розрядах означають відсутність одиниць цих розрядів.

Слід ще обмовитися про так званий нижчий (молодший) і вищий (старший) розряд багатозначного натурального числа. Нижчим (молодшим) розрядомБудь-якого багатозначного натурального числа є розряд одиниць. Вищим (старшим) розрядом натурального числає розряд, що відповідає крайній праворуч цифрі у записі цього числа. Наприклад, молодшим розрядом натурального числа 23004 є розряд одиниць, а старшим – розряд десятків тисяч. Якщо в записі натурального числа рухатись по розрядах зліва направо, то кожен наступний розряд нижче (молодше)попереднього. Наприклад, розряд тисяч молодший за розряд десятків тисяч, тим більше розряд тисяч молодший за розряд сотень тисяч, мільйонів, десятків мільйонів і т.д. Якщо ж у записі натурального числа рухатися по розрядах справа наліво, то кожен наступний розряд вище (старше)попереднього. Наприклад, розряд сотень старший за розряд десятків, і тим більше, старший за розряд одиниць.

У деяких випадках (наприклад, при виконанні додавання або віднімання) використовується не саме натуральне число, а сума розрядних доданків цього натурального числа.

Коротко про десяткову систему числення.

Отже, ми познайомилися з натуральними числами, із змістом, закладеним у них, та способом запису натуральних чисел за допомогою десяти цифр.

Взагалі метод запису чисел за допомогою знаків називають системою числення. Значення цифри в записі числа може залежати від позиції, а може й не залежати від її позиції. Системи числення, у яких значення цифри у записі числа залежить від її позиції, називають позиційними.

Отже, розглянуті нами натуральні числа і їх запису, свідчить про те, що ми користуємося позиційної системою числення. Слід зазначити, що особливе місце у цій системі числення має число 10 . Справді, рахунок ведеться десятками: десять одиниць об'єднуються у десяток, десяток десятків об'єднується у сотню, десяток сотень – у тисячу тощо. Число 10 називають основоюданої системи числення, а саму систему числення називають десятковий.

Крім десяткової системи числення існують й інші, наприклад, в інформатиці використовується двійкова позиційна система числення, а з шістдесятковою системою ми стикаємося, коли йдеться про вимір часу.

Список літератури.

• Математика. Будь-які підручники для 5 класів загальноосвітніх закладів.

Питання вченому:— Я чув, що сума всіх натуральних чисел дорівнює −1/12. Це якийсь фокус чи це правда?

Відповідь прес-служби МФТІ— Так, такий результат можна отримати за допомогою прийому, який називають розкладанням функції в ряд.

Питання, задане читачем, досить складне, і тому ми відповідаємо на нього не звичайним для рубрики «Питання вченому» текстом на кілька абзаців, а деяким спрощеною подобою математичної статті.

У наукових статтях з математики, де потрібно довести деяку складну теорему, розповідь розбивається кілька частин, й у яких можуть по черзі доводитися різні допоміжні твердження. Ми припускаємо, що читачі знайомі з курсом математики в межах дев'яти класів, тому заздалегідь просимо вибачення у тих, кому розповідь видасться надто простою — випускники можуть одразу звернутися до http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation.

Сума всього

Почнемо з розмови про те, як можна скласти усі натуральні числа. Натуральні числа - це числа, які використовуються для рахунку цілих предметів - всі цілі і невід'ємні. Саме натуральні числа навчають діти насамперед: 1, 2, 3 тощо. Сума всіх натуральних чисел буде виразом виду 1+2+3+... = і так нескінченно.

Ряд натуральних чисел нескінченний, це легко довести: адже до будь-якого великого числа завжди можна додати одиницю. Або навіть помножити це число саме на себе, а то й обчислити його факторіал — зрозуміло, що вийде ще більша величина, яка також буде натуральним числом.

Детально всі операції з нескінченно великими величинами розбираються в курсі математичного аналізу, але зараз для того, щоб нас зрозуміли цей курс, що ще не здали, ми дещо спростимо суть. Скажімо, що нескінченність, до якої додали одиницю, нескінченність, яку звели у квадрат чи факторіал від нескінченності, — це все також нескінченність. Можна вважати, що нескінченність це такий особливий математичний об'єкт.

І за всіма правилами математичного аналізу в рамках першого семестру сума 1+2+3+...+нескінченність теж нескінченна. Це легко зрозуміти з попереднього абзацу: якщо до нескінченності щось додати, воно все одно буде нескінченністю.

Однак у 1913 році блискучий індійський математик-самоук Срініваса Рамануджан Айенгор придумав спосіб скласти натуральні числа дещо іншим чином. Незважаючи на те, що Рамануджан не отримував спеціальної освіти, його знання не були обмежені сьогоднішнім шкільним курсом математик знав про існування формули Ейлера-Маклорена. Так як вона відіграє важливу роль у подальшому оповіданні, про неї доведеться також розповісти докладніше.

Формула Ейлера-Маклорена

Для початку запишемо цю формулу:

Як бачимо, вона досить складна. Частина читачів може пропустити цей розділ цілком, частина може прочитати відповідні підручники або хоча б статтю у Вікіпедії, а для тих, хто залишився, ми дамо короткий коментар. Ключову роль у формулі грає довільна функція f(x), яка може бути майже чим завгодно, аби у неї знайшлося достатня кількість похідних. Для тих, хто не знайомий з цим математичним поняттям (і все ж таки наважився прочитати написане тут!), скажімо ще простіше — графік функції не повинен бути лінією, яка різко ламається в будь-якій точці.

Похідна функції, якщо гранично спростити її зміст, є величиною, яка показує те, наскільки швидко зростає чи зменшується функція. З геометричної погляду похідна є тангенс кута нахилу дотичної до графіка.

Ліворуч у формулі стоїть сума виду «значення f(x) у точці m + значення f(x) у точці m+1 + значення f(x) у точці m+2 і так до точки m+n». У цьому числа m і n — натуральні, це треба підкреслити особливо.

Праворуч ми бачимо кілька доданків, і вони здаються дуже громіздкими. Перше (закінчується на dx) це інтеграл функції від точки m до точки n. Ризикуючи викликати гнів всієї

Третій доданок - сума від чисел Бернуллі (B 2k), поділених на факторіал подвоєного значення числа k і помножених на різницю похідних функції f(x) у точках n і m. Причому ще сильніше ускладнює справу, тут не просто похідна, а похідна 2k-1 порядку. Тобто все третє доданок виглядає так:

Число Бернуллі B 2 («2» так як у формулі коштує 2k, і ми починаємо складати з k=1) ділимо на факторіал 2 (це поки що просто двійка) і множимо на різницю похідних першого порядку (2k-1 при k=1) функції f(x) у точках n та m

Число Бернуллі B 4 («4» так як у формулі коштує 2k, а k тепер одно 2) ділимо на факторіал 4 (1×2х3×4=24) і множимо на різницю похідних третього порядку (2k-1 при k=2) функції f(x) у точках n та m

Число Бернуллі B 6 (див. вище) ділимо на факторіал 6 (1×2х3×4х5×6=720) і множимо на різницю похідних п'ятого порядку (2k-1 при k=3) функції f(x) у точках n і m

Підсумовування триває до k=p. Числа k і p виходять деякими довільними величинами, які ми можемо вибирати по-різному, разом з m і n — натуральними числами, якими обмежена ділянка, що розглядається, з функцією f(x). Тобто у формулі цілих чотири параметри, і це разом із довільністю функції f(x) відкриває великий простір для досліджень.

Залишилося скромне R, на жаль, тут не константа, а також досить громіздка конструкція, що виражається через згадані вище числа Бернуллі. Тепер саме час пояснити, що це таке, звідки взялося і чому взагалі математики почали розглядати такі складні висловлювання.

Числа Бернуллі та розкладання в ряд

У математичному аналізі є таке ключове поняття як розкладання до ряду. Це означає, що можна взяти якусь функцію і написати її безпосередньо (наприклад y = sin(x^2) + 1/ln(x) + 3x), а вигляді нескінченної суми безлічі однотипних доданків. Наприклад, багато функцій можна представити як суму статечних функцій, помножених на деякі коефіцієнти — тобто складної форми графік зведеться до комбінації лінійної, квадратичної, кубічної... і так далі кривих.

Теоретично обробки електричних сигналів величезну роль грає так званий ряд Фур'є — будь-яку криву можна розкласти на ряд із синусів і косінусів різного періоду; таке розкладання необхідно перетворення сигналу з мікрофона в послідовність нулів і одиниць всередині, скажімо, електронної схеми мобільного телефону. Розкладання в ряд також дозволяють розглядати неелементарні функції, а ряд найважливіших фізичних рівнянь при вирішенні дає вирази у вигляді ряду, а не у вигляді якоїсь кінцевої комбінації функцій.

У XVII столітті математики стали впритул займатися теорією рядів. Дещо пізніше це дозволило фізикам ефективно розраховувати процеси нагрівання різних об'єктів і вирішувати ще безліч інших завдань, які ми тут розглядати не будемо. Зауважимо лише те, що у програмі МФТІ, як й у математичних курсах всіх провідних фізичних вузів, рівнянням із рішеннями у вигляді тієї чи іншої низки присвячений як мінімум один семестр.

Якоб Бернуллі дослідив проблему підсумовування натуральних чисел в одній і тій же мірі (1^6 + 2^6 + 3^6 + ... наприклад) і отримав числа, за допомогою яких можна розкласти в згаданий вище статечний ряд інші функції - наприклад, tg(x). Хоча, здавалося б, тангенс не дуже схожий хоч на параболу, хоч на яку завгодно статечну функцію!

Поліноми Бернуллі пізніше знайшли своє застосування у рівняннях матфізики, а й у теорії ймовірностей. Це, загалом, передбачувано (адже ряд фізичних процесів — на кшталт броунівського руху або розпаду ядер — якраз і зумовлений різними випадковостями), але все одно заслуговує на окрему згадку.

Громіздка формула Ейлера-Маклорена використовувалася математиками для різних цілей. Так як у ній, з одного боку, стоїть сума значень функцій у певних точках, а з іншого - є і інтеграли, і розкладання в ряд, за допомогою цієї формули можна (залежно від того, що нам відомо) як взяти складний інтеграл, так і визначити суму низки.

Срініваса Рамануджан придумав цій формулі інше застосування. Він її трохи модифікував і отримав такий вираз:

Як функцію f(x) він розглянув просто x — нехай f(x) = x, це цілком правомірне припущення. Але для цієї функції перша похідна дорівнює просто одиниці, а друга і всі наступні — нулю: якщо все акуратно підставити у вказаний вираз і визначити відповідні числа Бернуллі, то якраз і вийде −1/12.

Це, зрозуміло, було сприйнято самим індійським математиком як щось надзвичайне. Оскільки він був не просто самоукою, а талановитим самоуком, він не став усім розповідати про відкриття, що поправило основи математики, а натомість написав лист Годфрі Харді, визнаному експерту в галузі як теорії чисел, так і математичного аналізу. Лист, до речі, містив приписку, що Харді, мабуть, захоче вказати автору на найближчу психіатричну лікарню: однак результатом, звісно, ​​стала не лікарня, а спільна робота.

Парадокс

Підсумовуючи все сказане вище, отримаємо таке: сума всіх натуральних чисел виходить рівною -1/12 при використанні спеціальної формули, яка дозволяє розкласти довільну функцію в деякий ряд із коефіцієнтами, які називаються числами Бернуллі. Однак це не означає, що 1+2+3+4 виявляється більше, ніж 1+2+3+... і так до безкінечності. В даному випадку ми маємо справу з парадоксом, який обумовлений тим, що розкладання в ряд — це свого роду наближення та спрощення.

Можна навести приклад набагато простішого і наочнішого математичного парадоксу, пов'язаного з вираженням чогось одного через щось інше. Візьмемо аркуш паперу в клітинку і намалюємо ступінчасту лінію із шириною та висотою сходинки в одну клітинку. Довжина такої лінії, очевидно, дорівнює подвоєному числу клітин — а ось довжина діагоналі, що спрямовує «драбинку», дорівнює числу клітин, помноженому на корінь з двох. Якщо зробити драбинку дуже дрібною, вона все одно буде тієї ж довжини і практично не відрізняється від діагоналі ламана лінія виявиться в корінь з двох разів більшою за ту саму діагоналі! Як бачите, для парадоксальних прикладів писати довгі складні формули не обов'язково.

Формула Ейлера-Маклорена, якщо не вдаватися в нетрі математичного аналізу, є таким самим наближенням, як і ламана лінія замість прямої. Використовуючи це наближення, можна отримати ті самі −1/12, проте це далеко не завжди буває доречним і виправданим. У ряді завдань теоретичної фізики подібні викладки застосовуються для розрахунків, але це той самий передній край досліджень, де ще рано говорити про коректне відображення реальності математичними абстракціями, а розбіжності різних обчислень один з одним — звичайна справа.

Так, оцінки щільності енергії вакууму на основі квантової теорії поля та на основі астрофізичних спостережень різняться більш ніж на 120 порядків. Тобто в 10^120 ступеня разів. Це з невирішених завдань сучасної фізики; Тут явно просвічує прогалину у знаннях про Всесвіт. Або ж проблема — без відповідних математичних методів для опису навколишнього світу. Фізики-теоретики спільно з математиками намагаються знайти такі способи описати фізичні процеси, при яких не буде виникати рядів, що розходяться (йдуть у нескінченність), але це далеко не найпростіше завдання.

Історія натуральних чисел почалася ще за первісних часів.З давніх-давен люди вважали предмети. Наприклад, у торгівлі потрібен був рахунок товару або у будівництві рахунок матеріалу. Та навіть у побуті теж доводилося рахувати речі, продукти, худобу. Спочатку числа використовувалися лише підрахунку у житті, практично, але надалі у розвитку математики стали частиною науки.

Натуральні числа- Це числа які ми використовуємо при рахунку предметів.

Наприклад: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Нуль не відноситься до натуральних чисел.

Усі натуральні числа або назвемо множину натуральних чисел позначається символом N.

Таблиця натуральних чисел.

Натуральний ряд.

Натуральні числа, записані поспіль у порядку зростання, утворюють натуральний рядабо ряд натуральних чисел.

Властивості натурального ряду:

• Найменше натуральне число – одиниця.
• У натурального ряду таке число більше попереднього на одиницю. (1, 2, 3, …) Три точки чи трикрапки ставляться у разі, якщо закінчити послідовність чисел неможливо.
• Натуральний ряд немає найбільшого числа, він нескінченний.

Приклад №1:
Напишіть перші 5 натуральних числа.
Рішення:
Натуральні числа починаються з одиниці.
1, 2, 3, 4, 5

Приклад №2:
Нуль є натуральним числом?
Відповідь: ні.

Приклад №3:
Яке перше число у натуральному ряду?
Відповідь: натуральний ряд починається з одиниці.

Приклад №4:
Яке останнє число у натуральному ряді? Назвіть найбільше натуральне число?
Відповідь: Натуральний ряд починається з одиниці. Кожне наступне число більше за попереднє на одиницю, тому останнього числа не існує. Найбільшого числа немає.

Приклад №5:
Чи має одиниця в натуральному ряду попереднє число?
Відповідь: ні, тому що одиниця є першим числом у натуральному ряду.

Приклад №6:
Назвіть таке число в натуральному ряду за числами: а)5, б)67, в)9998.
Відповідь: а)6, б)68, в)9999.

Приклад №7:
Скільки чисел знаходиться у натуральному ряду між числами: а)1 та 5, б)14 та 19.
Рішення:
а) 1, 2, 3, 4, 5 – три числа перебувають між числами 1 та 5.
б) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – чотири числа перебувають між числами 14 та 19.

Приклад №8:
Назвіть попереднє число за числом 11.
Відповідь: 10.

Приклад №9:
Які числа застосовуються за рахунку предметів?
Відповідь: натуральні числа.

У математиці існує кілька різних множин чисел: дійсні, комплексні, цілі, раціональні, ірраціональні, … повсякденному життіми найчастіше використовуємо натуральні числа, тому що ми стикаємося з ними за рахунку та пошуку, позначення кількості предметів.

Вконтакте

Які числа називаються натуральними

З десяти цифр можна записати абсолютно будь-яку суму класів і розрядів. Натуральними значеннями вважаються ті, які використовуються:

• За рахунку будь-яких предметів (перший, другий, третій, … п'ятий, … десятий).
• При позначенні кількості предметів (один, два, три…)

N значення завжди цілі та позитивні. Найбільшого N немає, оскільки безліч цілих значень не обмежена.

Увага!Натуральні числа виходять за рахунку предметів або за позначення їх кількості.

Абсолютно будь-яке число може бути розкладене та представлене у вигляді розрядних доданків, наприклад: 8.346.809=8 мільйонів+346 тисяч+809 одиниць.

Безліч N

Безліч N знаходиться у множині дійсних, цілих та позитивних. На схемі множин вони перебували одне в одному, оскільки безліч натуральних є частиною.

Безліч натуральних чисел позначається буквою N. Ця множина має початок, але не має кінця.

Ще існує розширена множина N, де включається нуль.

Найменше натуральне число

У більшості математичних шкіл найменшим значенням N вважається одиниця, Оскільки відсутність предметів вважається порожнечею.

Але в іноземних математичних школах, наприклад, у французькій, вважається натуральним. Наявність у ряді нуля полегшує підтвердження деяких теорем.

Ряд значень N, що включає нуль, називається розширеним і позначається символом N0 (нульовий індекс).

Ряд натуральних чисел

N ряд – це послідовність усіх N сукупностей цифр. Ця послідовність немає кінця.

Особливість натурального ряду полягає в тому, що наступне число відрізнятиметься на одиницю від попереднього, тобто зростатиме. Але значення не можуть бути негативними.

Увага!Для зручності рахунку існують класи та розряди:

• Одиниці (1, 2, 3),
• Десятки (10, 20, 30),
• Сотні (100, 200, 300),
• Тисячі (1000, 2000, 3000),
• Десятки тисяч (30.000),
• Сотні тисяч (800.000),
• Мільйони (4000000) і т.д.

Усі N

Усі N перебувають у багатьох дійсних, цілих, неотрицательных значень. Вони є їх складовою.

Ці значення йдуть у нескінченність, можуть належати класам мільйонів, мільярдів, квінтильйонів тощо.

Наприклад:

• П'ять яблук, три кошеня,
• Десять рублів, тридцять олівців,
• Сто кілограмів, триста книг,
• Мільйон зірок, три мільйони людей і т.д.

Послідовність N

У різних математичних школах можна зустріти два інтервали, яким належить послідовність N:

від нуля до плюс нескінченності, включаючи кінці, і від одиниці до плюс нескінченності, включаючи кінці, тобто все позитивні цілі відповіді.

N сукупності цифр може бути як парними, і парними. Розглянемо поняття непарності.

Непарні (будь-які непарні закінчуються на цифри 1, 3, 5, 7, 9.) при двох мають залишок. Наприклад, 7:2 = 3,5, 11:2 = 5,5, 23:2 = 11,5.

Що означає парні N

Будь-які парні суми класів закінчуються на цифри: 0, 2, 4, 6, 8. При поділі парних N на 2 залишку не буде, тобто в результаті виходить ціла відповідь. Наприклад, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Важливо!Числовий ряд з N не може складатися тільки з парних чи непарних значень, оскільки вони повинні чергуватись: за парним завжди йде непарне, за ним знову парне і т.д.

Властивості N

Як і всі інші множини, N мають свої власні, особливі властивості. Розглянемо властивості N низки (не розширеного).

• Значення, яке є найменшим і яке не слідує ні за яким іншим – це одиниця.
• N є послідовністю, тобто одне натуральне значення слід за іншим(крім одиниці – воно перше).
• Коли ми робимо обчислювальні операції над N сумами розрядів і класів (складаємо, множимо), то у відповіді завжди виходить натуральнезначення.
• При обчисленнях можна використовувати перестановку та поєднання.
• Кожне наступне значення не може бути меншим за попереднє. Також у N ряді діятиме такий закон: якщо число А менше, то в числовому ряді завжди знайдеться С, для якого справедлива рівність: А+С=В.
• Якщо взяти два натуральні вирази, наприклад А і В, то для них буде справедливо один з виразів: А = В, А більше, А менше В.
• Якщо менше В, а менше З, то звідси випливає, що А менше.
• Якщо А менше, то слід, що: якщо додати до них один і той же вираз (С), то А + С менше В + С. Також справедливо, якщо ці значення помножити на З, то АС менше АВ.
• Якщо більше А, але менше З, то справедливо: В-А менше С-А.

Увага!Усі перераховані вище нерівності дійсні й у зворотному напрямку.

Як називаються компоненти множення

У багатьох простих і навіть складних завданнях знаходження відповіді залежить від уміння школярів.

Для того, щоб швидко і правильно множити та вміти вирішувати обернені завдання, необхідно знати компоненти множення.

15. 10 = 150. У даному виразі 15 та 10 є множниками, а 150 – твором.

Множення має властивості, які необхідні при розв'язанні задач, рівнянь та нерівностей:

• Від перестановки множників кінцевий твір не зміниться.
• Щоб знайти невідомий множник, треба твір розділити на відомий множник (справедливо всім множників).

Наприклад: 15 . Х = 150. Розділимо твір на відомий множник. 150: 15 = 10. Зробимо перевірку. 15 . 10 = 150. За таким принципом вирішуються навіть складні лінійні рівняння(якщо спростити їх).

Важливо!Твір може складатися не лише з двох множників. Наприклад: 840 = 2 . 5. 7. 3. 4

Що таке натуральні числа у математиці?

Розряди та класи натуральних чисел

Висновок

Підведемо підсумки. N використовуються при рахунку чи позначенні кількості предметів. Ряд натуральних сукупностей цифр нескінченний, але він включає лише цілі і позитивні суми розрядів і класів. Примноження теж необхідне для того, щоб рахувати предмети, а також для вирішення завдань, рівнянь та різних нерівностей.