Бінарні відносини на множині. Спеціальні бінарні відносини
Основи дискретної математики.
Поняття множини. Відношення між множинами.
Безліч - сукупність об'єктів, що мають певну властивість, об'єднаних в єдине ціле.
Об'єкти, що становлять безліч елементамимножини. Для того, щоб деяку сукупність об'єктів можна було називати безліччю, повинні виконуватися такі умови:
· Повинно існувати правило, яким моно визначити чи належить елемент до цієї сукупності.
· Повинно існувати правило, яким елементи можна відрізнити друг від друга.
Безліч позначаються великими літерами, яке елементи маленькими. Способи завдання множин:
· Перерахування елементів множини. - Для кінцевих множин.
· Вказівка характеристичної властивості 
.
Порожнім безліччю- називається безліч, що не містить жодного елемента (Ø).
Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих же елементів. , A=B
Безліч Bназивається підмножиною множини А( , Тоді і тільки тоді, коли всі елементи множини Bналежать безлічі A.
Наприклад: , B =>
Властивість:
Примітка: зазвичай розглядають підмножину однієї і тієї множини, яка називається універсальним(u). Універсальна множина містить усі елементи.
Операції над множинами.
| A |
| B |
2.Перетином 2-х множин називається нове безліч, що складається з елементів, одночасно належать і першій і другій множині.
Н-р: , ,
Властивість: операції об'єднання та перетину.
· Комутативність. 
· Асоціативність. ;
· Дистрибутивний. ;
| U |
Бінарні відносини та його властивості.
Нехай Аі Вце безліч похідної природи, розглянемо впорядковану пару елементів (а, в) а ϵ А, ϵ Вможна розглядати впорядковані «енкі».
(а 1, а 2, а 3, ... а n), де а 1 ϵ А 1; а 2 ϵ А 2; …; а n ϵ А n;
Декартовим (прямим) твором множин А 1, А 2, …, А n, називається мн-во, що складається з упорядкованих n k виду .
Н-р: М= {1,2,3}
М× М= М 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.
Підмножини декартового твору 
називається ставленням ступеня nабо енарним ставленням. Якщо n=2, то розглядають бінарнівідносини. При чому кажуть, що а 1 , а 2перебувають у бінарному відношенні R, коли а 1 R а 2.
Бінарним ставленням на безлічі Mназивається підмножина прямого твору множини nсамого на себе.
М× М= М 2= {(a, b)| a, b ϵ M) у попередньому прикладі відношення менше на безлічі Мпороджує таку безліч: ((1,2); (1,3); (2,3))
Бінарні відносини мають різні властивості в тому числі:
· Рефлексивність: 
.
· Антирефлексивність (іррефлексивність): .
· Симетричність: .
· Антисиметричність: .
· Транзитивність: .
· Асиметричність: .
Види стосунків.
· Відношення еквівалентності;
· Відношення порядку.
v Рефлексивне транзитивне відношення називається ставленням квазіпорядку.
v Рефлексивне симетричне транзитивне відношення називається відношенням еквівалентності.
v Рефлексивне антисиметричне транзитивне відношення називається відношенням (часткового) порядку.
v Антирефлексивне антисиметричне транзитивне відношення називається ставленням суворого порядку.
Бінарні стосунки.
Нехай A і B – довільні множини. Візьмемо по одному елементу з кожної множини, a з A, b з B і запишемо їх так:
Декартовим творомдовільних множин A і B (позначається: AB) називається безліч, що складається з усіх можливих упорядкованих пар, перший елемент яких належить A, а другий належить B. За визначенням: AB = (
Приклад 5. Нехай A = (x, y) та B = (1, 2, 3).
AB = (
BA = (<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.
AA = A 2 = (
BB = B 2 = (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.
Бінарним ставленнямна множині M називається безліч деяких упорядкованих пар елементів множини M. Якщо r – бінарне відношення та пара
Приклад 6. Безліч (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) є бінарним ставленням на множині (1, 2, 3, 4, 5).
Приклад 7. Відношення ³ на множині цілих чисел є бінарним ставленням. Це безліч упорядкованих пар виду
Приклад 8. Відношення рівності на множині A є бінарним відношенням: I A = (
Оскільки бінарні відносини є безліччю, то до них застосовні операції об'єднання, перетину, доповнення та різниці.
Областю визначеннябінарного відношення r називається безліч D(r) = ( x | існує таке y, що xry). Область значеньбінарного відношення r називається безліч R(r) = (y | існує таке x, що xry).
Відношенням, зворотнимдо бінарного відношення r Í M 2 називається бінарне відношення r -1 = (
Композицієюбінарних відношень r 1 і r 2 , заданих на множині M, називається бінарне відношення r 2 o r 1 = (
Приклад 9. Нехай бінарне відношення r задано на множині M = (a, b, c, d), r = (
Нехай r – бінарне відношення на множині M. Ставлення r називається рефлексивнимякщо x r x для будь-якого x Î M. Відношення r називається симетричнимякщо разом з кожною парою
Вкажемо критерії виконання цих властивостей.
Бінарне відношення r на множині M рефлексивне тоді і тільки тоді, коли I M Í r.
Бінарне відношення r симетричне тоді і лише тоді, коли r = r ‑1 .
Бінарне відношення r на множині M антисиметричне тоді і тільки тоді, коли r Ç r ‑1 = I M .
Бінарне відношення r транзитивне тоді і тільки тоді, коли r o r r.
Приклад 10. Відношення прикладу 6 є антисиметричним, але не є симетричним, рефлексивним і транзитивним. Відношення прикладу 7 є рефлексивним, антисиметричним і транзитивним, але не є симетричним. Ставлення I A має всі чотирма властивостями, що розглядаються. Відносини r-1 o r і r o r-1 є симетричними, транзитивними, але не є антисиметричними та рефлексивними.
Відношенням еквівалентностіна безлічі M називається транзитивне, симетричне та рефлексивне на М бінарне відношення.
Відношенням часткового порядкуна безлічі М називається транзитивне, антисиметричне та рефлексивне на М бінарне відношення r.
Приклад 11. Відношення прикладу 7 є відношенням часткового порядку. Відношення I A є відношенням еквівалентності та часткового порядку. Ставлення паралельності на багатьох прямих є ставленням еквівалентності.
У повсякденні нам постійно доводиться стикатися з поняттям «відносини». Відносини – один із способів завдання взаємозв'язків між елементами множини.
Унарні (одномісні) відношення відображають наявність якоїсь однієї ознаки R у елементів множини M (наприклад, «бути червоною» на безлічі куль в урні).
Бінарні (двомісні) відносини використовуються для визначення взаємо
зв'язків, якими характеризуються пари елементів у множині M.
Наприклад, на багатьох людей можуть бути задані такі відносини: «жити в одному місті», « xпрацює під керівництвом y», «Бути сином», «Бути старшим» і т.д. на безлічі чисел: «число aбільше числа b», «число aє дільником числа b», «числа aі bдають однаковий залишок при розподілі на 3».
У прямому творі , де A- безліч студентів будь-якого вузу, B- безліч предметів, що вивчаються, можна виділити велику підмножину впорядкованих пар (a, b), які мають властивість: «студент aвивчає предмет b». Побудована підмножина відображає відношення «вивчає», що виникає між множинами студентів та предметів. Число прикладів можна продовжити
Відносини між двома об'єктами є предметом дослідження економіки, географії, біології, фізики, лінгвістики, математики та інших наук.
Для суворого математичного опису будь-яких зв'язків між елементами двох множин вводиться поняття бінарного відношення.
Бінарним відношенням між множинами A та Bназивається підмножина R прямого твору. У тому випадку, коли можна просто говорити про відношення Rна A.
Приклад 1. Випишіть упорядковані пари, що належать бінарним відносинам R 1і R 2, заданими на множинах Aта : , . Підмножина R 1складається з пар: . Підмножина.
Область визначення Rє безліч всіх елементів з Aтаких, що для деяких елементів маємо . Іншими словами область визначення Rє безліч усіх перших координат упорядкованих пар з R.
Безліч значеньвідносини Rє безліч всіх таких, що для деяких . Тобто безліч значень Rє безліч всіх інших координат упорядкованих пар з R.
У прикладі 1 для R 1область визначення: , безліч значень - . Для R 2область визначення: , безліч значень: .
У багатьох випадках зручно використовувати графічне зображення бінарного відношення. Воно здійснюється двома способами: за допомогою точок на площині та за допомогою стрілок.
У першому випадку вибирають дві взаємно перпендикулярні лінії як горизонтальну і вертикальну осі. На горизонтальній осі відкладають елементи множини Aта через кожну точку проводять вертикальну лінію. На вертикальній осі відкладають елементи множини Bчерез кожну точку проводять горизонтальну лінію. Точки перетину горизонтальних та вертикальних ліній зображають елементи прямого твору.
Приклад 5. Нехай,.
Нехай R 1поставлено на перерахуванням упорядкованих пар: . Бінарне відношення R 2на безлічі задано за допомогою правила: упорядкована пара, якщо aділиться на b. Тоді R 2складається з пар: .
Бінарні відносини, приклад 2, R 1і R 2зображені графічно на рис. 6 та рис.7.
| | |||||||||||||||||||||||||
Рис. 6 Мал. 7
Щоб зобразити бінарне відношення за допомогою стрілок, ліворуч зображуються точками елементи множини A, справа - множини B. Для кожної пари (a, b), що міститься у бінарному відношенні R, проводиться стрілка від aдо b, . Графічне зображення бінарного відношення R 1, наведеного у прикладі 6, показано на рис.8.
| мал.8 |
Бінарні відносини на кінцевих множинах можуть бути задані матрицями. Припустимо, що поставлено бінарне відношення Rміж множинами Aі B. , .
Рядки матриці нумеруються елементами множини A, а стовпці – елементами множини B. Осередок матриці, що стоїть на перетині i- ого рядка та j- ого стовпця прийнято позначати через C ij , а заповнюється вона так:
Отримана матриця матиме розмір.
Приклад 6.Нехай задано безліч. На безлічі задайте списком та матрицею відношення R- "Бути суворо менше".
Ставлення Rяк безліч містить всі пари елементів ( a, b)з Mтакі, що .
Матриця відносини, побудована за вищевказаними правилами, має такий вигляд:
Властивості бінарних відносин:
1. Бінарне відношення Rна безлічі називається рефлексивнимякщо для будь-якого елемента aз Mпара (a, a)належить R, тобто. має місце для будь-кого aз M:
Відносини "жити в одному місті", "вчитися в одному вузі", "бути не більше" є рефлексивними.
2. Бінарне відношення називається антирефлексивним,якщо воно не має властивість рефлексивності для будь-яких a:
Наприклад, «бути більше», «бути молодшими» - це антирефлексивні відносини.
3. Бінарне відношення Rназивається симетричнимякщо для будь-яких елементів aі bз Mз того, що пара (a, b)належить R, , Випливає, що пара (b, a)належить R, тобто.
Симетричнапаралельність прямих, т.к. якщо то // . Симетричне відношення«Бути рівним» на будь-якій безлічі або «Бути взаємнопростим на N».
Відношення R симетрично і тоді, коли R=R -1
4. Якщо для несупадних елементів вірне ставлення, але хибно, то відношення антисиметрично. Можна сказати інакше:
Антисиметричними є стосунки«Бути більше», «Бути дільником на N», «Бути молодшим».
5. Бінарне відношення Rназивається транзитивним, якщо для будь-яких трьох елементів з того, що пари (a, b)і (b, c)належать Rслід, що пара (a, c) належить R:
Транзитивні відносини: «Бути більше», «Бути паралельним», «Бути рівним» та ін.
6. Бінарне відношення R антитранзитивно, якщо воно не має властивості транзитивності.
Наприклад, «бути перпендикулярним» на безлічі прямих площин ( , , але не так, що ).
Т.к. бінарне відношення може бути поставлене не лише прямим перерахуванням пар, а й матрицею, то доцільно з'ясувати, якими ознаками характеризується матриця відношення Rякщо воно: 1) рефлексивно, 2) антирефлексивно, 3) симетрично, 4) антисиметрично, 5) транзитивно.
Нехай Rзадано на , .R або виконується в обидві сторони, або не виконується взагалі. Таким чином, якщо в матриці стоїть одиниця на перетині i- ого рядка та j- ого стовпця, тобто. C ij=1, вона повинна стояти і на перетині j- ого рядка та i- ого стовпця, тобто. C ji=1, і навпаки, якщо C ji=1, то C ij=1. Таким чином, матриця симетричного відношення симетрична щодо головної діагоналі.
4. Rантисиметрично, якщо і слід: . Це означає, що у відповідній матриці для жодних i, jне виконується C ij =C ji=1. Таким чином, у матриці антисиметричного відношення відсутні одиниці, симетричні щодо головної діагоналі.
5. Бінарне відношення R на непустому множині A називається транзитивнимякщо
Наведена умова повинна виконуватися для будь-яких елементів матриці. І, навпаки, якщо у матриці Rє хоча б один елемент C ij=1, для якого ця умова не виконується, то Rне транзитивно.
Відношення, задане на безлічі, може мати ряд властивостей, а саме:
2. Рефлексивність
Визначення.Ставлення Rбезлічі Хназивається рефлексивним, якщо кожен елемент хмножини Хзнаходиться у відношенні Rз самим собою.
Використовуючи символи, це відношення можна записати у такому вигляді:
Rрефлексивно на Х Û(" хÎ Х) х R х
приклад.Ставлення рівності на багатьох відрізків рефлексивно, т.к. кожен відрізок дорівнює собі самому.
Граф рефлексивного відношення у всіх вершинах має петлі.
2. Антирефлексивність
Визначення.Ставлення Rбезлічі Хназивається антирефлексивним, якщо жоден елемент хмножини Хне знаходиться у відношенні Rз самим собою.
Rантирефлексивно на Х Û(" хÎ Х)
приклад.Відношення «пряма хперпендикулярна до прямої у» на безлічі прямих площин антирефлексивно, т.к. жодна пряма площини не перпендикулярна до самої себе.
Граф антирефлексивного відношення не містить жодної петлі.
Зауважимо, що є відносини, які є ні рефлексивними, ні антирефлексивними. Наприклад, розглянемо ставлення «точка хсиметрична точка у» на безлічі точок площини.
Крапка хсиметрична точка х- Істинно; крапка усиметрична точка у– хибно, отже, ми можемо стверджувати, що це точки площини симетричні самі собі, також ми можемо і стверджувати, що жодна точка площини не симетрична сама собі.
3. Симетричність
Визначення. Ставлення Rбезлічі Хназивається симетричним, якщо з того, що елемент хзнаходиться у відношенні Rз елементом услід, як і елемент узнаходиться у відношенні Rз елементом х.
Rсиметрична Х Û(" х, уÎ Х) х R у Þ у R х
приклад.Відношення «пряма хперетинає пряму уна безлічі прямих площин» симетрично, т.к. якщо пряма хперетинає пряму у, то й пряма уобов'язково перетинатиме пряму х.
Граф симетричного відношення разом із кожною стрілкою з точки хв точку уповинен містити стрілку, що з'єднує ті ж точки, але у зворотному напрямку.
4. Асиметричність
Визначення. Ставлення Rбезлічі Хназивається асиметричним, якщо ні для яких елементів х, уз множини Хне може статися, що елемент хзнаходиться у відношенні Rз елементом ута елемент узнаходиться у відношенні Rз елементом х.
Rасиметрична Х Û(" х, уÎ Х) х R у Þ
приклад.Відношення « х < у»Асиметрично, т.к. ні для якої пари елементів х, уне можна сказати, що одночасно х < уі у<х.
Граф асиметричного відношення немає петель і якщо дві вершини графа з'єднані стрілкою, то ця стрілка лише одна.
5. Антисиметричність
Визначення. Ставлення Rбезлічі Хназивається антисиметричним, якщо з того що хзнаходиться у відношенні з у, а узнаходиться у відношенні з хвипливає, що х = у.
Rантисиметричний Х Û(" х, уÎ Х) х R у Ù у R хÞ х = у
приклад.Відношення « х£ у» Антисиметрично, т.к. умови х£ уі у£ ходночасно виконуються лише тоді, коли х = у.
Граф антисиметричного відношення має петлі і якщо дві вершини графа з'єднані стрілкою, то ця стрілка лише одна.
6. Транзитивність
Визначення. Ставлення Rбезлічі Хназивається транзитивним, якщо для будь-яких елементів х, у, zз множини Хз того, що хзнаходиться у відношенні з у, а узнаходиться у відношенні з zвипливає, що хзнаходиться у відношенні з z.
Rтранзитивнона Х Û(" х, у, zÎ Х) х R у Ù у R zÞ х R z
приклад.Відношення « хкратно у»Транзитивно, т.к. якщо перше число кратне другому, а друге кратно третьому, то перше число буде кратно третьому.
Граф транзитивного відношення з кожною парою стрілок від хдо уі от удо zмістить стрілку, що йде від хдо z.
7. Зв'язність
Визначення. Ставлення Rбезлічі Хназивається зв'язковим, якщо для будь-яких елементів х, уз множини Х хзнаходиться у відношенні з уабо узнаходиться у відношенні з хабо х = у.
Rсвязнона Х Û(" х, у, zÎ Х) х R у Ú у R zÚ х= у
Іншими словами: ставлення Rбезлічі Хназивається зв'язковим, якщо для будь-яких різних елементів х, уз множини Х хзнаходиться у відношенні з уабо узнаходиться у відношенні з хабо х = у.
приклад.Відношення « х< у» складно, т.к. які б ми дійсні числа не взяли, обов'язково одне з них буде більшим за інше або вони рівні.
На графі зв'язного ставлення всі вершини з'єднані між собою стрілками.
приклад.Перевірити, які властивості має
відношення « х –дільник у», задане на безлічі
Х= {2; 3; 4; 6; 8}.
1) це відношення рефлексивно, т.к. кожне число з цієї множини є дільником самого себе;
2) властивістю антирефлексивності дане відношення не має;
3) якість симетричності не виконується, т.к. наприклад, 2 є дільником числа 4, але 4 дільником числа 2 не є;
4) це відношення антисиметрично: два числа можуть бути одночасно дільниками один одного тільки в тому випадку, якщо ці числа є рівними;
5) ставлення транзитивно, т.к. якщо одне число є дільником другого, а друге дільником третього, то перше число обов'язково буде дільником третього;
6) відношення якістю зв'язності немає, т.к. наприклад, числа 2 та 3 на графі стрілкою не з'єднані, т.к. два різні числа 2 і 3 дільниками один одного не є.
Таким чином, дане відношення має властивості рефлексивності, асиметричності та транзитивності.
§ 3. Відношення еквівалентності.
Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи
Визначення.Ставлення Rна безлічі Хназивається відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.
приклад.Розглянемо ставлення ходнокурсник у» на багатьох студентів педфаку. Воно має властивості:
1) рефлексивність, т.к. кожен студент є однокурсником себе;
2) симетричність, т.к. якщо студент х у, то й студент ує однокурсником студента х;
3) транзитивності, т.к. якщо студент х- однокурсник у, а студент у– однокурсник z, то студент хбуде однокурсником студента z.
Таким чином, дане відношення має властивості рефлексивності, симетричності та транзитивності, а значить, є відношенням еквівалентності. У цьому безліч студентів педфаку можна розбити на підмножини, які з студентів, які навчаються однією курсі. Отримуємо 5 підмножин.
Відношення еквівалентності є також, наприклад, відношення паралельності прямих, відношення рівності фігур. Кожне таке відношення пов'язане з розбиттям множини на класи.
Теорема.Якщо на безлічі Хзадано ставлення еквівалентності, воно розбиває це безліч на попарно непересекающиеся підмножини (класи еквівалентності).
Правильне і зворотне твердження: якщо якесь відношення, задане на множині Х, породжує розбиття цієї множини на класи, вона є ставленням еквівалентності.
приклад.На безлічі Х= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) поставлено відношення «мати той самий залишок при розподілі на 3». Чи є воно ставленням до еквівалентності?
Побудуємо граф цього відношення:
Дане відношення має властивості рефлексивності, симетричності і транзитивності, отже, є відношення еквівалентності і розбиває безліч Хна класи еквівалентності. У кожному класі еквівалентності будуть числа, які при розподілі на 3 дають один і той самий залишок: Х 1 = {3; 6}, Х 2 = {1; 4; 7}, Х 3 = {2; 5; 8}.
Вважають, клас еквівалентності визначається будь-яким своїм представником, тобто. довільним елементом цього. Так, клас рівних дробів можна задати, вказавши будь-який дріб, що належить цьому класу.
У початковому курсі математики також зустрічаються відносини еквівалентності, наприклад, «вирази хі умають однакові числові значення», «фігура хдорівнює фігурі у».
Нехай R- деяке бінарне відношення на множині X, а х, у, z будь-які його елементи. Якщо елемент х знаходиться у відношенні R з елементом у, то пишуть xRy.
1. Відношення R на множині X називається рефлексивним, якщо кожен елемент множини знаходиться в цьому відношенні із самим собою.
R-рефлексивно на X<=>xRx для будь-якого x€ X
Якщо відношення R рефлексивно, то у кожній вершині графа є петля. Наприклад, відносини рівності та паралельності для відрізків є рефлексивними, а відношення перпендикулярності та «довші» не є рефлексивними. Це відбивають графи малюнку 42.
2. Відношення R на множині X називається симетричним, якщо з того, що елемент х знаходиться в даному відношенні з елементом у, слід, що елемент у цьому ж відношенні з елементом х.
R - симетрично на (хЯу => у Rx)
Граф симетричного відношення містить парні стрілки, що йдуть у протилежних напрямках. Відносини паралельності, перпендикулярності та рівності для відрізків мають симетричність, а відношення «довше» - не є симетричним (рис. 42).
3. Відношення R на множині X називається антисиметричним, якщо для різних елементів х і у з множини X з того, що елемент х знаходиться в даному відношенні з елементом у, слід, що елемент у цьому відношенні з елементом х не знаходиться.
R - антисиметрично на Х« (xRy та xy ≠ yRx)
Примітка: риса зверху позначає заперечення висловлювання.
На графі антисиметричного відношення дві точки може поєднувати лише одна стрілка. Прикладом такого відношення є відношення "довше" для відрізків (рис. 42). Відносини паралельності, перпендикулярності та рівності не є антисиметричними. Існують відносини, які не є ні симетричними, ні антисиметричними, наприклад, відношення «бути братом» (рис. 40).
4. Відношення R на множині X називається транзитивним, якщо з того, що елемент х знаходиться в даному відношенні з елементом у і елемент у знаходиться в цьому ле відношенні з елементом z, слід, що елемент х знаходиться в даному відношенні з елементом Z
R - транзитивно на A≠ (xRy та yRz=> xRz)
На графах відносин «довше», паралельності і рівності малюнку 42 можна помітити, що й стрілка йде від першого елемента до другого і від другого до третього, то обов'язково є стрілка, що йде від першого елемента до третього. Ці відносини є транзитивними. Перпендикулярність відрізків не має властивості транзитивності.
Існують інші властивості відносин між елементами однієї множини, які ми не розглядаємо.
Одне й те саме відношення може мати кілька властивостей. Так, наприклад, на багатьох відрізках відношення «рівно» - рефлексивне, симетричне, транзитивне; відношення «більше» - антисиметричне та транзитивне.
Якщо відношення на множині X рефлексивне, симетричне і транзитивне, воно є ставленням еквівалентності на цій множині. Такі відносини розбивають безліч X класи.
Дані відносини проявляються, наприклад, при виконанні завдань: «Підбери смужки рівні по довжині і розклади по групах», «Розклади м'ячі так, щоб у кожній коробці були м'ячі одного кольору». Відносини еквівалентності («бути рівним по довжині», «бути одного кольору») визначають у цьому випадку розбиття множин смужок та м'ячів на класи.
Якщо відношення на множині 1 транзитивно і антисиметрично, воно називається ставленням порядку на цій множині.
Безліч із заданим у ньому ставленням порядку називається впорядкованим безліччю.
Наприклад, виконуючи завдання: «Порівняй смужки за шириною і розклади їх від найвужчої до найширшої», «Порівняй числа та розклади числові картки по порядку», діти впорядковують елементи множин смужок та числових карток за допомогою відносин порядку; «бути ширше», «іти за».
Взагалі відносини еквівалентності та порядку грають велику роль у формуванні у дітей правильних уявлень про класифікацію та впорядкування множин. З іншого боку, зустрічається багато інших відносин, які є ні відносинами еквівалентності, ні відносинами порядку.
6. Що таке характеристичне властивість множини?
7. У яких стосунках можуть бути множини? Дайте пояснення кожному нагоді та зобразіть їх за допомогою кіл Ейлера.
8. Дайте визначення підмножини. Наведіть приклад множин, одна з яких є підмножиною іншої. Запишіть їхнє відношення за допомогою символів.
9. Дайте визначення рівних множин. Наведіть приклади двох рівних множин. Запишіть їхнє відношення за допомогою символів.
10. Дайте визначення перетину двох множин і зобразіть його за допомогою кіл Ейлера для кожного окремого випадку.
11. Дайте визначення об'єднання двох множин і зобразіть його за допомогою кіл Ейлера для кожного окремого випадку.
12. Дайте визначення різниці двох множин і зобразіть її за допомогою кіл Ейлера для кожного окремого випадку.
13. Дайте визначення доповнення та зобразіть його за допомогою кіл Ейлера.
14. Що називається розбиттям множини на класи? Назвіть умови правильної класифікації.
15. Що називається відповідністю між двома множинами? Назвіть способи відповідності.
16. Яка відповідність називається взаємно однозначною?
17. Які множини називають рівносильними?
18. Які множини називають рівнозначними?
19. Назвіть способи завдання стосунків на безлічі.
20. Яке відношення на множині називають рефлексивним?
21. Яке відношення на множині називають симетричним?
22. Яке відношення на множині називають антисиметричним?
23. Яке відношення на множині називають транзитивним?
24. Дайте визначення відношення еквівалентності.
25. Дайте визначення відносин порядку.
26. Яку множину називають упорядкованою?