ද්විමය බ්ලූස් ගුණාකාර වලින්. විශේෂ ද්විමය බ්ලූස්
විවික්ත ගණිතයේ මූලික කරුණු.
ගුණකය තේරුම් ගන්න. Vіdnoshennya mіzh ගුණාකාර වලින්.
බෙස්ලිච් - බලයේ බලය රඳවා ගත හැකි වස්තූන් එකතුව, තනි සමස්තයක් තුළ එක්සත් වේ.
පුද්ගලභාවයට පත්වන වස්තු මූලද්රව්යගුණාකාර. වස්තූන්ගේ sukupnіst අපද්‍රව්‍ය ලෙස හැඳින්විය හැකි deaku සඳහා, යමෙකු මෙසේ සිතිය යුතුය:
· වරදකරු іsnuvati පාලනය, yakim mono vyznachiti චි tsієї sukupnostі කිරීමට මූලද්රව්යය තැබීමට.
· වරදකාරී іsnuvati පාලනය, yak elementi එකිනෙකා vіdіznіt හැක.
නිර්නාමික යන්න කුඩා මූලද්රව්ය වැනි විශාල අකුරු වලින් දැක්වේ. ගුණාකාර සැකසීමට මාර්ග:
· Pererakhuvannya elementіv ගුණ කිරීම. - kіntsevih ගුණ කිරීම සඳහා.
· ලක්ෂණ බලය ප්රකාශය 
.
හිස් මුහුණු රහිත- එකම මූලද්රව්යය (Ø) පළි නොගන්නා, පුද්ගල නොවන ලෙස හැඳින්වේ.
එකම සහ එකම මූලද්රව්ය වලින් දුගඳ සෑදී ඇති පරිදි ගුණ කිරීම් දෙකක් සමාන ලෙස හැඳින්වේ. , A=B
බෙස්ලිච් බීගුණකය ලෙස හැඳින්වේ නමුත්( , Todі i tіlki tіlki tоdі, සියලුම මූලද්රව්ය ගුණ කළහොත් බීමූණ නැති බොරු ඒ.
උදාහරණ වශයෙන්: , බී =>
බලය:
සටහන: ඒවා හඳුන්වනු ලබන පරිදි, එක සහ තුන ගුණකවල ගුණය බැලීමට අමතන්න විශ්වීය(u) සියලු මූලද්රව්ය පළිගැනීම සඳහා විශ්වීය බහුත්වයක්.
ගුණ කිරීම මත මෙහෙයුම්.
| ඒ |
| බී |
2.පෙරටින් 2 ගුණ කිරීම් නව පුද්ගල නොවන ලෙස හැඳින්වේ, ඒවා මූලද්රව්ය වලින් සමන්විත වේ, ඒ සමඟම පළමු සහ අනෙකුත් ගුණ කිරීම් අතිච්ඡාදනය වේ.
Nr:,,
ඩොමීනියන්: සමිතියේ සහ පෙරටිනාවේ ක්රියාකාරිත්වය.
· හුවමාරු වීම. 
· ආශ්‍රය. ;
· බෙදාහැරීමේ. ;
| යූ |
Bіnarnі vіdnosinі ta Yogo vlastivostі.
ඉදිරියට එන්න නමුත්і හිදී ce පුද්ගල නොවන pokhidnoy ස්වභාවය, මූලද්රව්ය කිහිපයක් පිළිවෙලට බලා ඇත (a, c) a ϵ A, ϵ Bඔබට ඇණවුම් කළ "එන්කි" දැකිය හැකිය.
(a 1, a 2, a 3, ... a n), ද ඒ 1 ϵ A 1; ඒ 2 ϵ A 2; …; ඒ n ϵ A n;
කාටිසියානු (සෘජු) ගුණාකාර නිර්මාණය A 1, A 2, ..., A n, n k ආකෘතියේ අනුපිළිවෙලින් සෑදෙන බහු වචන ලෙස හැඳින්වේ.
Nr: එම්= {1,2,3}
M× M= M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.
Cartesian නිර්මාණශීලීත්වය දිරිමත් කරන්න 
පියවර ලෙස හැඳින්වේ nනමුත් enary සැකසුම්. යක්ෂෝ n=2, එහෙනම් බලන්න ද්විමයනිල් බලන්න. ඇයි එහෙම කියන්නේ a 1, a 2ද්විමය වෙනස් කරන්න ආර්, නම් a 1 R a 2.
Faceless මත ද්විමය සැකසුම් එම්සෘජු ගුණකයේ උප ගුණකය ලෙස හැඳින්වේ nතමා මත.
M× M= M 2= {(a, b)| a, b ϵ එම්) ඉදිරිපස බට් එකේ, එය මුහුණ නැති අය මත අඩුවෙන් උච්චාරණය වේ එම්එවැනි පුද්ගලත්වයක් ජනනය කරයි: ((1,2); (1,3); (2,3))
ද්විමය බ්ලූස් විවිධ බලයන් පිළිබිඹු කරයි, ඇතුළුව:
reflexivity: 
.
· ප්රති-ප්‍රත්‍යාවර්තකතාව (ප්‍රත්‍යාවර්තකතාව): .
· සමමිතිය: .
· ප්රතිසමමිතිය: .
· සංක්‍රාන්තිය: .
· අසමමිතිය: .
Stosunkiv බලන්න.
· සමානාත්මතාවය පිළිබඳ යෝජනාව;
· නියෝග.
v ප්රත්යාවර්තක සංක්රාන්ති ප්‍රකාශනයක් අර්ධ අනුපිළිවෙලක් ලෙස හැඳින්වේ.
v පරාවර්තක සමමිතික සංක්රාන්ති ප්‍රකාශන සමානතා ප්‍රකාශන ලෙස හැඳින්වේ.
v ප්‍රත්‍යාවර්තී ප්රතිසමමිතික සංක්රාන්ති ප්රකාශනය (chastkovy) අනුපිළිවෙලෙහි ප්රකාශනය ලෙස හැඳින්වේ.
v ප්රති-ප්‍රත්‍යාවර්ත, ප්රති-සමමිතික, සංක්රාන්ති ප්‍රකාශන දැඩි නියෝගයක නියෝග ලෙස හැඳින්වේ.
ද්විමය ස්ටෝසුන්කි.
A සහ B ප්රමාණවත් ගුණකයන් වීමට ඉඩ දෙන්න. සම ගුණකය, a c A, b c B වලින් එක් මූලද්රව්ය බැගින් ගෙන x පහත පරිදි ලියන්න:
කාටිසියානු නිර්මාණය A සහ B හි අතිරේක ගුණාකාරයන් (ඇඟවන්නේ: AB) පුද්ගලාරෝපිත ලෙස හැඳින්වේ, ඒවා හැකි සියලුම ඇණවුම් යුගල වලින් එකතු කරනු ලැබේ, එහි පළමු අංගය A ට අයත් වන අතර අනෙක B ට අයත් වේ. පැවරීම සඳහා: AB = (
උදාහරණ 5. A = (x, y) සහ B = (1, 2, 3) ලෙස සලකන්න.
AB=(
BA=(<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.
AA = A 2 = (
BB = B 2 = (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.
ද්විමය සැකසුම් M ගුණකය M ගුණකයේ ඇති මූලද්රව්යවල පුද්ගල අනුපිළිවෙල යුගල ලෙස හැඳින්වේ. r යනු එම යුගලයේ ද්විමය සංයෝගයකි.
බට් 6. බෙස්ලිච් (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) ද්විමය ගුණක සැකසුම් (1, 2, 3, 4, 5) වෙත.
බට් 7. Vіdnoshennia ³ නිඛිලවල බහුත්වය මත є ද්විමය සැකසුම්. Tse impersonal ordering couple mind
උදාහරණ 8
Oskіlki bіnarnі vіdnosinі є පුද්ගල, පසුව ඔවුන්ට පෙර zastosovnі මෙහෙයුම් ob'ednannya, peretina, dopovnennya සහ සිල්ලර.
පත්වීම් ප්රදේශයද්විමය ප්රකාශනය r යනු impersonal D(r) = ( x | ප්රදේශයේ වටිනාකමද්විමය ප්රකාශනය r යනු impersonal R(r) = (y | x නම් x, එසේ නම් xry).
සිහිකිරීම, ආපසුද්විමය ප්‍රකාශනයට පෙර r Í M 2 ද්විමය ප්රකාශනය ලෙස හැඳින්වේ r -1 = (
සංයුතියද්විමය ප්‍රකාශන r 1 සහ r 2 , M ගුණකය මත ඇති කාර්යයන් ද්වීතික ප්‍රකාශන ලෙස හැඳින්වේ r 2 o r 1 = (
උදාහරණ 9. M = (a, b, c, d), r = ( ගුණකය මත r ද්විමය ප්රකාශනය ලබා දෙන්න.
M ගුණකය මත r ද්විමය ප්‍රකාශනයක් වේවා. r සැකසුම හැඳින්වේ reflexiveකුමක් සඳහා x r x x н M. ප්‍රස්තුතය r ලෙස හැඳින්වේ සමමිතිකසම යුගලයක් වගේ
උදාහරණයක් ලෙස, vikonannya tsikh බලධාරීන් සඳහා නිර්ණායක.
M කුලකයේ r හි ද්විමය ප්රකාශනය ප්රත්යාවර්තක වන අතර I M Í r නම් පමණි.
R = r -1 නම් ද්විමය ප්රකාශනය r වැඩි හෝ අඩු සමමිතික වේ.
M ගුණකය සඳහා r හි ද්විමය සම්බන්ධතාවය ප්රතිසමමිතික වන අතර r Ç r -1 = I M නම් පමණි.
ද්විමය විශේෂණ පදය r යනු සංක්රාන්ති පමණක් වන අතර r o r r නම් පමණි.
බට් 10. බට් 6 සඳහා යෝජනාව ප්රතිසමමිතික, නමුත් සමමිතික, ප්‍රත්‍යාවර්ත සහ සංක්රාන්ති නොවේ. බට් 7 සඳහා වන යෝජනාව reflexive, antisymmetric සහ transitive, නමුත් සමමිතික නොවේ. I A පිහිටුවීම දෙස බලන සියලු චෝතිර්මා බලයන් විය හැකිය. Vіdnosiny r-1 o rі r o r-1 є සමමිතික, සංක්‍රමණ, නමුත් є ප්රතිසමමිතික සහ ප්‍රත්‍යාවර්ත නොවේ.
සිහිකිරීම සමානාත්මතාවය Impersonal මත M ද්විමය ප්රකාශනය මත සංක්රාන්ති, සමමිතික සහ ප්‍රත්‍යාවර්ත ලෙස හැඳින්වේ.
සිහිකිරීම පුද්ගලික ඇණවුම Impersonal මත M ද්විමය ප්රකාශනය r මත සංක්‍රමණ, ප්රතිසමමිතික සහ reflexive ලෙස හැඳින්වේ.
බට් 11 Vіdshennya මම A є vіdshennyam සමානාත්මතාවය සහ chastkovy අනුපිළිවෙල. බහු රේඛා මත සමාන්තරකරණය පිහිටුවීම සමානාත්මතාවය සැකසීමයි.
එදිනෙදා ජීවිතයේදී, අපි "නිල් දැකීම" පිළිබඳ අවබෝධයට නිරන්තරයෙන් ඇලී සිටිය යුතුය. Vidnosini යනු ගුණකයේ මූලද්රව්ය අතර අන්තර් සම්බන්ධතාවය කළමනාකරණය කිරීමේ එක් ක්‍රමයකි.
Unary (තනි-වචන) ප්‍රකාශන මගින් M ගුණකයේ මූලද්රව්යවල R හි සමාන සලකුණු තිබීම පිළිබිඹු කරයි (උදාහරණයක් ලෙස, බඳුනක ඇති පුද්ගල නොවන ගෝනියක් මත “රතු වන්න”).
ද්විමය (ද්විත්ව) vicarious blues අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් හැඟවීමට භාවිතා කරයි
zv'yazkіv, බහුත්වයේ මූලද්රව්ය යුගලයකින් සංලක්ෂිත වේ එම්.
උදාහරණයක් ලෙස, ධනවත් පුද්ගලයින්ට පහත දැක්වෙන සැලැස්ම ලබා දිය හැකිය: "එක් ස්ථානයක ජීවත් වන්න", " x pratsyuє pіd kerіvnitstvom y”, “සයිනොම් කෙනෙක් වෙන්න”, “ජ්‍යේෂ්ඨයෙක් වෙන්න”, යනාදිය. පුද්ගල නොවන අංක මත: "අංකය ඒවැඩි සංඛ්යාවක් බී", "අංකය ඒє දිනය dilnik බී", "අංක ඒі බීඑය 3න් බෙදූ විට එම අතිරික්තයම දෙන්න.
සෘජු නිර්මාණ කරන්න, ද ඒ- ඕනෑම විශ්ව විද්‍යාලයක පුද්ගල නොවන සිසුන්, බී- විකෘති වූ පුද්ගල නොවන වස්තූන්, ඔබට ඇණවුම් කළ යුගල විශාල ප්‍රමාණයක් දැකිය හැකිය (අ,ආ), yakі mayut බලය: "ශිෂ්ය ඒවිෂය විකෘති කිරීම බී". බොහෝ සිසුන්ගේ සහ විෂයයන්ගේ වරදක් වන "විව්චා" සිසුන් සංඛ්යාව වැඩි කිරීමට එය පොළඹවන ලදී. අයදුම්පත් ගණන දිගටම කරගෙන යා හැක
Vіdnosini mіzh dvoma єktami є ආර්ථික විද්‍යාව, භූගෝල විද්‍යාව, ජීව විද්‍යාව, භෞතික විද්‍යාව, වාග් විද්‍යාව, ගණිතය සහ වෙනත් විද්‍යාවන් අධ්‍යයනය කිරීමේ විෂය.
කට්ටල දෙකක මූලද්රව්ය අතර සම්බන්ධතා තිබේද යන්න පිළිබඳ දැඩි ගණිතමය විස්තරයක් සඳහා, ද්විමය සම්බන්ධතාවයක් පිළිබඳ සංකල්පය හඳුන්වා දෙනු ලැබේ.
A සහ B ගුණාකාර අතර ද්විමය ප්‍රකාශනසෘජු නිර්මාණයේ උප බහුවිධ R ලෙස හැඳින්වේ. ඒ, ඔබට විවාහය ගැන කතා කළ හැකි නම් ආර්මත ඒ.
තට්ටම් 1. ද්විමය අවාසි විය යුතු ඔට්ටුවේ අනුපිළිවෙල ලියන්න R1і R2, කාර්යයන් ගුණ කරයි ඒ ta:, . උප බහුකාර්ය R1යුගල සමග ඒකාබද්ධ:. උප බහුකාර්ය.
තනතුරු ප්රදේශය ආර්є සියලු මූලද්රව්යවල පුද්ගල නොවන ඒඑවැනි සමහර මූලද්රව්ය සඳහා විය හැක. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, පත්වීම් ප්රදේශය ආර්є ඇණවුම් යුගලවල පුද්ගල නොවන පළමු ඛණ්ඩාංක ආර්.
නිර්නාමික අර්ථයනිල් බලන්න ආර්є එවැනි සියල්ලෙන් පුද්ගල නොවන, සිටින අය සඳහා. ටොබ්ටෝ පුද්ගල අර්ථය ආර්є ඇණවුම් යුගලවල අනෙකුත් සියලුම ඛණ්ඩාංකවල පුද්ගල නොවන ආර්.
බට් 1 සඳහා R1තනතුරු ප්රදේශය: , නිර්නාමික අගය - . සදහා R2තනතුරු ප්රදේශය: , නිර්නාමික අගය: .
පොහොසත් vipads වලදී, ද්විමය ප්‍රකාශනයක ග්‍රැෆික් රූපයක් ඇඳීම පහසුය. එය ක්රම දෙකකින් ක්රියා කරයි: ගුවන් යානයේ අතිරේක ලක්ෂ්යයක් සඳහා සහ අතිරේක ඊතලයක් සඳහා.
පළමු දිශාවෙහි, තිරස් සහ සිරස් අක්ෂයක් ලෙස අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ලම්බක රේඛා දෙකක් තෝරන්න. ගුණ කිරීමේ මූලද්රව්ය තිරස් අක්ෂය මත තබා ඇත ඒසහ සමේ ලක්ෂ්යය හරහා සිරස් රේඛාවක් අඳින්න. සිරස් අක්ෂය මත, ගුණකයක මූලද්රව්ය එකතු කරන්න බීසමේ ලක්ෂ්යය හරහා තිරස් රේඛාවක් අඳින්න. තිරස් සහ සිරස් රේඛාවල තිත් සෘජු නිර්මාණයේ මූලද්රව්ය නියෝජනය කරයි.
තට්ටම් 5. ඉදිරියට එන්න.
ඉදිරියට එන්න R1 pererahuvannyam ඇණවුම් යුගල මත තබා:. ද්විමය මතකය R2අතිරේක රීතියක් සඳහා පුද්ගල කට්ටලයක් මත: යුගලයක් ඇණවුම් කර ඇත, එසේ ඒලෙස බෙදිය යුතුය බී. ටෝඩි R2යුගල සමග ඒකාබද්ධ:.
ද්විමය බ්ලූස්, බට් 2, R1і R2රූපයේ රූපයේ දැක්වේ. 6 සහ fig.7.
| | |||||||||||||||||||||||||
සහල්. 6 කුඩා. 7
අතිරේක ඊතල සඳහා ද්විමය සම්බන්ධතාවයක් නිරූපණය කිරීම සඳහා, වමක මූලද්රව්ය සහ ගුණක ලක්ෂ්ය මගින් නිරූපණය කෙරේ. ඒ, දකුණු පසින් - ගුණකයන් බී. සම ඔට්ටු ඇල්ලීම සඳහා (අ,ආ), ද්විමය සම්බන්ධතාවයෙන් පළිගන්නේ කුමක්ද? ආර්, සිදු කිරීමට නියමිතය ඒකලින් බී, . ද්විමය දර්ශනයේ චිත්‍රක නිරූපණය R1, බට් 6 හි ප්‍රේරිත, Fig.8 හි පෙන්වා ඇත.
| කුඩා 8 |
පර්යන්ත ගුණකවල ද්විමය බ්ලූපින්ට් න්‍යාස මගින් ලබා දිය හැක. ද්විමය ලබා දෙන බව පිළිගත හැකිය ආර්ගුණාකාර අතර ඒі බී. , .
අනුකෘතියේ පේළි ගුණකයේ මූලද්රව්ය මගින් අංකනය කර ඇත ඒ, සහ stovptsі - ගුණකයක මූලද්රව්ය බී. අනුකෘතියේ මැද, පෙරේ මත නැගී සිටිය යුතු දේ මම- එම පේළිය j- th stovptsia C ij හරහා දැක්වීමට පිළිගනු ලබන අතර, එය මෙසේ ලියා ඇත:
Otriman's matrix matime rozmir.
උදාහරණය 6.එය පුද්ගල නොවන බව ලබා දෙන්න. පුද්ගල නොවන මත ලැයිස්තුව සහ අනුකෘතිය සකසන්න ආර්- "Buti suvoro අඩු."
සැකසීම ආර්මූලද්‍රව්‍යවල සියලුම ඔට්ටුවලින් පළිගැනීම කෙතරම් පුද්ගලානුබද්ධද ( ඒ, බී) h එම්ඉතින් කුමක් ද.
නීති මගින් ආනුභාව ලත් නිල් න්‍යාසය, මේ වගේ විය හැක:
ද්විමය දත්තවල ආධිපත්‍යය:
1. ද්විමය වෙනස ආර්පුද්ගල නොවන ලෙස හැඳින්වේ reflexiveඕනෑම අංගයක් සඳහා yakscho ඒ h එම්යුගල (අ, අ)පමා වෙනවා ආර්, එවිට. කෙනෙකු වීමට maє තැනක් ඒ h එම්:
Vіdnosini "එක තැනක ජීවත් වන්න", "එක් විශ්ව විද්‍යාලයක ඉගෙන ගන්න", "තවත් නොවන්න" є reflexive.
2. ද්විමය ප්රකාශනය ලෙස හැඳින්වේ ප්රති-reflexive, නැත්ද යන්න සඳහා ප්රත්යාවර්තක බලයක් තිබිය නොහැකි බැවින් ඒ:
උදාහරණයක් ලෙස, "විශාල වන්න", "තරුණ වන්න" - tse ප්රති-පරාවර්තන නිල්.
3. ද්විමය වෙනස ආර්කියලා සමමිතිකකුමන මූලද්රව්ය සඳහා yakscho ඒі බී h එම්යුවල නිසා (අ,ආ)පමා වෙනවා ආර්, විප්ලි, මොන ජෝඩුවක්ද (ආ, අ)පමා වෙනවා ආර්, එවිට.
සමමිතිකරේඛා සමාන්තරකරණය, මන්ද yakscho // සමමිතික පෙනුම"සමාන වන්න" යනු පුද්ගල නොවී සිටීම හෝ "N මත අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් සමාව දෙන්න".
R=R -1 නම් යෝජනාව R සමමිතික සහ සමාන වේ
4. නොගැලපෙන මූලද්රව්ය සඳහා, එය සකසා ඇත, නමුත් එය වඩා හොඳයි, පසුව එය ප්රතිසමමිතික. ඔබට වෙනත් ආකාරයකින් පැවසිය හැකිය:
Antisymmetric є stosunki"ලොකු වන්න", "එන් මත ඩිල්නික් වන්න", "තරුණ වන්න".
5. ද්විමය වෙනස් වීම ආර්කියලා සංක්රාන්ති, ඔට්ටු ඇල්ලීම සඳහා අංග තුනක් තිබේද යන්න සම්බන්ධයෙන් (අ,ආ)і (ආ, ඇ)බිම දිගාවෙන්න ආර්ඊළඟට යුගලය (a, c) වැතිර සිටී ආර්:
සංක්‍රමණ බ්ලූස්: "තවත් වන්න", "සමාන්තර වන්න", "සමාන වන්න", ආදිය.
6. ද්විමය වෙනස් වීම ආර් සංක්‍රමණ විරෝධී, එයට සංක්රාන්ති බලය තිබිය නොහැකි බැවිනි.
උදාහරණයක් ලෙස, පුද්ගල නොවන සෘජු ගුවන් යානා මත "ලම්බක වන්න" ( , , නමුත් එසේ නොවේ, ෂෝ ).
නිසා ද්විමය දිගු යුගල සෘජුව නැවත සකස් කිරීමෙන් පමණක් නොව න්‍යාසයකින් සැකසිය හැක, එවිට දිගු වල න්‍යාසය සංලක්ෂිත වන්නේ කුමන සලකුණු වලින්ද යන්න සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලි කෙරේ. ආර්හරියට: 1) reflexive, 2) antireflexive, 3) symmetric, 4) antisymmetric, 5) transitive.
ඉදිරියට එන්න ආර්, .R ලෙස සකසන්න හෝ විරුද්ධ පැත්තේ ඇසිපිය ගසන්න, නැතහොත් අනෙක් පැත්තෙන් ඇසිපිය නොගසන්න. මෙම ශ්රේණියේ, matrix හි මෙන්, pere මත තනිව සිටින්න මම- එම පේළිය j- වාව්, ටොබ්ටෝ. C ij\u003d 1, ඇය සිටගෙන සිටීම සහ බිම වැරැදිකාරියකි j- එම පේළිය මම- වාව්, ටොබ්ටෝ. සී ජී=1, i navpaki, යක්සෝ සී ජී=1, එවිට C ij=1. එවැනි ආකාරයෙන්, සමමිතික ප්‍රක්ෂේපණයේ අනුකෘතිය ප්‍රධාන විකර්ණය දිගේ සමමිතික වේ.
4. ආර්ප්රතිසමමිතික, aka slid: . Tse යනු එදිනෙදා සඳහා වෙනස් අනුකෘතියක් බවයි මම, jදිනන්න එපා C ij =සී ජී=1. එවැනි ආකාරයෙන්, ප්රතිසමමිතික ප්‍රකාශනයේ න්‍යාසයට දෛනික ඒකක දෙකක් ඇත, හිස විකර්ණයට සමමිතික වේ.
5. හිස් නොවන ගුණකයක් මත R ද්විමය ප්රකාශනය A ලෙස හැඳින්වේ සංක්රාන්තියක්ෂෝ
න්‍යාසයේ මූලද්රව්ය වීම නිසා මනසට වරදක් එල්ල වී ඇත. මම, navpaki, matrix වගේ ආර්මට එක අංගයක් අවශ්‍යයි C ij\u003d 1, ඒ සඳහා මනස ජයග්‍රාහී නොවේ, එසේ නම් ආර්සංක්‍රමණ නොවේ.
Vdnoshnennia, පුද්ගල භාවය මත ලබා දී, බලධාරීන් ගණනාවක් මව, සහ එයම විය හැක:
2. reflexivity
පත්වීම.සැකසීම ආර්මුහුණ නැති xසමේ මූලද්රව්යයක් ලෙස reflexive ලෙස හැඳින්වේ xගුණ කරන්න xඥාතීන් දැන ගැනීමට ආර්ඔබ සමග.
Vikoristovuyuchi සංකේත, වටිනාකම එවැනි පෙනුමකින් ලිවිය හැකිය:
ආර්පරාවර්තකව මත x Û(" xÎ x) x R x
බට්. bagatioh vіdrіzkіv මත සමානාත්මතාවය සැකසීම ප්‍රත්‍යාවර්තී වේ, මන්ද සම් vіdrіzok dorіvnyuє ඔබම.
ලූපයේ සියලුම සිරස්වල ප්රත්යාවර්තක දිගුවේ ප්‍රස්ථාරය.
2. antireflexivity
පත්වීම.සැකසීම ආර්මුහුණ නැති xඑය පොදු මූලද්රව්යයක් වන බැවින් ප්රති-ප්‍රත්‍යාවර්ත ලෙස හැඳින්වේ xගුණ කරන්න x vіdnoshenі දන්නේ නැහැ ආර්ඔබ සමග.
ආර් antireflexively on x Û(" xÎ x)
බට්. Vіdnoshennya "කෙළින්ම xසරල රේඛාවට ලම්බකව හිදී»පෞද්ගලික නොවන සෘජු තලවල ප්රති-ප්‍රතික්‍රියාශීලී වේ, මන්ද තලයේ එකම සරල රේඛාව තමාටම ලම්බක නොවේ.
ප්රති-ප්‍රත්‍යාවර්ත ප්‍රකාශනයේ ප්‍රස්ථාරය පැරණි ලූපයෙන් පළි නොගනී.
ගෞරවාන්විතව, ඒවා නිල් පැහැයෙන් යුක්ත වන අතර, ඒවා ප්රත්යාවර්තක හෝ ප්‍රතිප්‍රත්‍යාවර්තක නොවේ. උදාහරණයක් ලෙස, “තිතය දෙස බැලීම xසමමිතික ලක්ෂ්යය හිදී» ගුවන් යානයේ පුද්ගල නොවන ස්ථාන මත.
ක්රැප්කා xසමමිතික ලක්ෂ්යය x- සැබෑ; පැල්ලම් සහිත හිදීසමමිතික ලක්ෂ්යය හිදී- Hibno, එසේ නම්, තලයේ ලක්ෂ්ය තමන්ට සමමිතික බව අපට තබාගත හැක, එබැවින් තලයේ ඕනෑම ලක්ෂ්යයක් තමාටම සමමිතික නොවන බව අපට තබාගත හැක.
3. සමමිතිය
පත්වීම. සැකසීම ආර්මුහුණ නැති xමූලද්රව්යය නිසා සමමිතික ලෙස හැඳින්වේ xඥාතීන් දැන ගැනීමට ආර්මූලද්රව්යය සමඟ හිදීඊළඟට, yak i මූලද්රව්යය හිදීඥාතීන් දැන ගැනීමට ආර්මූලද්රව්යය සමඟ x.
ආර්සමමිතික x Û(" x, හිදීÎ x) x R y Þ y R x
බට්. Vіdnoshennya "කෙළින්ම xකෙලින්ම වියන්න හිදීපුද්ගල නොවන සෘජු ගුවන් යානා මත” සමමිතික වේ, මන්ද කොහොමද කෙලින් xකෙලින්ම වියන්න හිදී, එහෙනම් මම කෙළින් හිදී obov'yazkovo දෘෂ්ටි විතානයේ සෘජු x.
තිතකින් සම ඊතලයකින් එකවර සමමිතික ප්‍රකාශනයේ ප්‍රස්ථාරය xහරියටම හිදීඑම ලක්ෂ්‍යවලට වදින ඊතලයෙන් පළිගැනීමේ වරදට, නමුත් හැරවුම් ලක්ෂයේ කෙළින්ම ඉදිරියෙන්.
4. අසමමිතිය
පත්වීම. සැකසීම ආර්මුහුණ නැති xඅසමමිතික ලෙස හැඳින්වේ, නමුත් සමහර මූලද්රව්ය සඳහා නොවේ x, හිදීගුණාකාර වලින් xඑම අංගය විය නොහැක xඥාතීන් දැන ගැනීමට ආර්මූලද්රව්යය සමඟ හිදීඑම මූලද්රව්යය හිදීඥාතීන් දැන ගැනීමට ආර්මූලද්රව්යය සමඟ x.
ආර්අසමමිතික x Û(" x, හිදීÎ x) x R y Þ
බට්.සිහිකිරීම" x < හිදී»අසමමිතික ලෙස nі කුමන ඔට්ටු ඇල්ලීමේ අංග සඳහාද? x, හිදීඑකපාරටම මොකක්ද කියන්න බෑ x < හිදීі හිදී<x.
අසමමිතික ප්‍රස්ථාරයට ලූප නොමැති අතර ප්‍රස්ථාරයේ සිරස් දෙකක් ඊතලයකින් සම්බන්ධ කර ඇත්නම් එහි ඇත්තේ එක් ඊතලයක් පමණි.
5. ප්රතිසමමිතිය
පත්වීම. සැකසීම ආර්මුහුණ නැති xප්රතිසමමිතික ලෙස හැඳින්වේ, මන්ද xදැන ගැනීමට හිදී, ඒ හිදීදැන ගැනීමට xකෑගහනවා මොකක්ද කියලා x = වයි.
ආර්ප්රතිසමමිතික x Û(" x, හිදීÎ x) x R y Ù y R xÞ x = y
බට්.සිහිකිරීම" x£ හිදී» ප්රතිසමමිතික, මන්ද සේදී යනවා x£ හිදීі හිදී£ xඑක් පැයක් vykonuyutsya එකකට වඩා අඩු නම් x = වයි.
ප්රතිසමමිතික ප්‍රස්ථාරයේ ලූප ඇති අතර ප්‍රස්ථාරයේ සිරස් දෙකක් ඊතලයකින් සම්බන්ධ කර ඇත්නම්, ඊතල එකකට වඩා තිබේ.
6. සංක්‍රාන්තිය
පත්වීම. සැකසීම ආර්මුහුණ නැති xඕනෑම මූලද්රව්යයක් සඳහා සංක්රාන්ති ලෙස හැඳින්වේ x, හිදී, zගුණාකාර වලින් xකුමක් සිට xදැන ගැනීමට හිදී, ඒ හිදීදැන ගැනීමට zකෑගහනවා මොකක්ද කියලා xදැන ගැනීමට z
ආර්සංක්රාන්ති x Û(" x, හිදී, zÎ x) x R y Ù Rz දීÞ x Rz
බට්.සිහිකිරීම" xබහු හිදී»සංක්‍රමණ, මන්ද පළමු අංකය තවත් සංඛ්‍යාවක ගුණාකාරයක් නම්, අනෙක තුනෙන් එකක ගුණාකාරයක් නම්, පළමු අංකය තුන්වන අංකයේ ගුණාකාරයක් වනු ඇත.
සම ඊතල යුගලයක් සහිත සංක්රාන්ති දිගුවේ ප්‍රස්තාරය xකලින් හිදීමම සිට හිදීකලින් zඊතලයෙන් පළිගන්න, මොකද වෙන්නේ xකලින් z
7. Zvyaznist
පත්වීම. සැකසීම ආර්මුහුණ නැති x zv'azkovym ලෙස හැඳින්වේ, කුමන මූලද්රව්ය සඳහා yakscho x, හිදීගුණාකාර වලින් x xදැන ගැනීමට හිදීහෝ හිදීදැන ගැනීමට xහෝ x = y.
ආර්සම්බන්ධයි x Û(" x, හිදී, zÎ x) x R y Ú Rz දීÚ x= හිදී
වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්: සැකසීම ආර්මුහුණ නැති x zv'azkovym ලෙස හැඳින්වේ, වෙනත් ඕනෑම මූලද්රව්ය සඳහා x, හිදීගුණාකාර වලින් x xදැන ගැනීමට හිදීහෝ හිදීදැන ගැනීමට xහෝ x = y.
බට්.සිහිකිරීම" x< හිදී»අමාරු නිසා yakі b mi dіysnі ඉලක්කම් ගෙන නැත, obov'yazkovo ඔවුන්ගෙන් එක් කෙනෙක් අනෙකා සඳහා වැඩි වනු ඇත, නමුත් දුර්ගන්ධය සමාන වේ.
සම්බන්ධක සැකසුමේ ප්‍රස්ථාරයේ, සියලුම සිරස් ඊතල මගින් සම්බන්ධ කර ඇත.
බට්. Perevіriti, yakі බලය maє
මතකය" X - dilnik හිදී”, මුහුණ නැති මත ලබා දී ඇත
x= {2; 3; 4; 6; 8}.
1) අගය reflexive වේ, මන්ද සම අංකය z qієї ගුණකය є dilnik තමා;
2) ප්රති-ප්රත්යාවර්තක බලයට ඉඩ නොදේ;
3) සමමිතියේ උපාධිය ජයගත නොහැක, මන්ද උදාහරණයක් ලෙස, අංක 4 හි 2 є ඩිල්නික්, නමුත් අංක 2 හි ඩිල්නික් 4 є නොවේ;
4) සම්බන්ධතාවය ප්රති-සමමිතික ය: සංඛ්යා දෙකක් එකවර විස්තාරක විය හැක්කේ සංඛ්යා සමාන වන බැවින්, එකම ආකාරයකින් එකම විස්තාරක;
5) සැකසුම සංක්රාන්ති වේ, මන්ද එක් අංකයක් තවත් කෙනෙකුගේ සහකරු නම්, අනෙක තුන්වැන්නාගේ සහකරු නම්, පළමු අංකය තුන්වැන්නාගේ සහකරු වනු ඇත;
6) පැහැදිලිකමේ තරමේ වෙනසක් නැත, මන්ද උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රස්ථාරයේ අංක 2 සහ 3 ඊතලයකින් සලකුණු කර නැත, මන්ද වෙනස් අංක දෙකක් 2 සහ 3 dilnikami එකක් є නොවේ.
මේ ආකාරයෙන්, මෙය ප්රත්යාවර්තක, අසමමිතික සහ සංක්රාන්ති බලයට උපහාරයකි.
§ 3. සමානාත්මතාවය පිළිබඳ ඇඟවීම.
පන්තිය අනුව ගුණකයේ බෙදීම්වල සමානාත්මතාවයට සබැඳියක්
පත්වීම.සැකසීම ආර්මුහුණ නැති මත xඑය වඩාත් ප්‍රත්‍යාවර්ත, සමමිතික සහ සංක්රාන්ති බැවින් එය සමානාත්මතාවයට අදාළව හැඳින්වේ.
බට්.දෘශ්‍යමාන ලෙස වසා ඇත xපන්තියේ මිතුරිය හිදී» අධ්‍යාපනික පීඨයේ බගටියෝ සිසුන් පිළිබඳව. බලයක් නැත:
1) reflexivity, නිසා සම ශිෂ්ය є පන්තියේ තමා;
2) සමමිතිය, මන්ද ශිෂ්යයෙකු ලෙස x හිදී, පසුව th සිසුවා හිදීє ශිෂ්යයාගේ පන්තියේ මිතුරා x;
3) සංක්‍රාන්තිය, මන්ද ශිෂ්යයෙකු ලෙස x- පන්තියේ මිතුරා හිදී, සහ ශිෂ්යයා හිදී- පන්තියේ මිතුරා z, පසුව ශිෂ්යයා xශිෂ්යයෙකුගේ පන්තියේ මිතුරෙකු වන්න z.
මේ ආකාරයෙන්, එය ප්රත්යාවර්තක, සමමිතිය සහ සංක්‍රාන්තිත්වයේ බලයට උපහාරයක් වන අතර, එබැවින්, සමානාත්මතාවය හඳුනා ගැනීම. අධ්‍යාපනික පීඨයේ නම් රහිත සිසුන් දුසිම් භාගයකට බෙදිය හැකි අය සඳහා, උදාහරණයක් ලෙස, සිසුන් සඳහා, උදාහරණයක් ලෙස, ඔවුන් එක් පාඨමාලාවක් හදාරති. අපි උප ගුණයන් 5 ක් ගනිමු.
සමානාත්මතාවය සමාන වේ, උදාහරණයක් ලෙස, සරල රේඛා සමාන්තරකරණය, සංඛ්යා සමානාත්මතාවය. පන්තියේ ගුණ කිරීම සඳහා සම සමාන ලෙස පැළඳ සිටී.
ප්රමේයය.මූණක් නැති එකේ වගේ xසමානාත්මතාවයේ සැකසුම ලබා දී ඇත, එය පුද්ගල නොවන යුගල වශයෙන් ඡේදනය නොවන උප ගුණිත (සමානතා පන්ති) වලට බෙදයි.
නිවැරදි සහ ප්‍රතිලෝම දෘඪතාව: එය vіdnoshennia ලෙස, ගුණාකාර වලින් ලබා දී ඇත x, tsієї බෙදීමකට උපත ලබා දීම, පන්තිය අනුව ගුණ කිරීම, є සමානතා ප්රමිතීන් දිනා ඇත.
බට්.මුහුණ නැති මත x\u003d (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) "එය 3 න් බෙදූ විට එම අතිරික්තයේ මව" වෙත උපහාරයක් කරන ලදී. චි є vono stavlennyam සමානාත්මතාවයට?
අපි ඔබේ අදහස් ගණන විමසමු:
බල ප්‍රත්‍යාවර්තකත්වය, සමමිතිය සහ සංක්‍රාන්තිත්වයේ වැදගත්කම සැලකිල්ලට ගෙන, є සමානාත්මතාවය හඳුන්වාදීම සහ පුද්ගලත්වය බිඳ දැමීම xසමානාත්මතාවයේ පන්තිය මත. සමානාත්මතාවයේ සම පන්තියට සංඛ්යා ඇත, ඒවා 3 න් බෙදූ විට, එක හා එකම අතිරික්තයක් ලබා දෙයි: x 1 = {3; 6}, x 2 = {1; 4; 7}, x 3 = {2; 5; 8}.
Vvazhayut, සමානාත්මතාවයේ පන්තිය ඔබේම නියෝජිතයෙකු වීමට තීරණය කර ඇත, tobto. එහි ප්රමාණවත් අංගයකි. ඉතින් මේ පන්තියට අයිති භාගක් තියෙනවද කියලා පෙන්නලා සමාන භාග පන්තිය සැකසිය හැකියි.
ගණිතයේ cob පාඨමාලාවේදී, සමානාත්මතාවයේ සලකුණු ද ඇත, උදාහරණයක් ලෙස, "virazi xі හිදීඑකම සංඛ්‍යාත්මක අගයක් තිබිය හැක", "රූපය xලස්සන රූප හිදී».
ඉදිරියට එන්න ආර්- ගුණකය X, සහ x, y, z be-yakі yogo මූලද්රව්ය සඳහා deyake ද්විමය යොමුව. y මූලද්‍රව්‍යයට සාපේක්ෂව x මූලද්රව්යය y හි දක්නට ලැබේ නම්, ලියන්න xRy.
1. බහු වචන X මත ඇති R සම්බන්ධය reflexive ලෙස හැඳින්වේ, බහුවචනයේ සම මූලද්රව්යය මෙම සම්බන්ධය තුළම දක්නට ලැබේ.
X මත R-reflexively<=>ඕනෑම දෙයක් සඳහා xRx x€ X
R ප්රකාශනය ප්‍රත්‍යාවර්තී බැවින්, ප්‍රස්ථාරයේ සම ශීර්ෂයට ලූපයක් ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, vіdrіzkіv සඳහා සමානාත්මතාවයේ සහ සමාන්තරවාදයේ බ්ලූස් ප්රත්යාවර්තක වන අතර ලම්බකතාව සහ "dovshі" යන සංකල්පය ප්‍රත්‍යාවර්ත නොවේ. Tse කුඩා 42 ප්‍රස්ථාරය පරාජය කිරීමට.
2. y මූලද්රව්යය x මූලද්රව්ය සමඟ අනුපාතයෙහි පවතින බැවින්, x මූලද්රව්යය y මූලද්රව්ය සමඟ ලබා දී ඇති අනුපාතයෙහි පවතින බැවින්, X හි ගුණකය වෙත R අනුපාතය සමමිතික ලෙස හැඳින්වේ.
R - මත සමමිතික (xYau => y Rx)
සමමිතික දර්ශනයේ ප්‍රස්ථාරය යනු ප්‍රතිවිරුද්ධ සරල රේඛා ඔස්සේ ගමන් කරන ඊතලයේ කොල්ලන්ගෙන් පළිගැනීමයි. vdrіzkіv සඳහා සමාන්තරකරණය, ලම්බකතාව සහ ඒකාකාරත්වය සමමිතික විය හැකි අතර, "දිගු" එක සමමිතික නොවේ (රූපය 42).
3. R හි X ගුණකයට R අනුපාතය ප්රතිසමමිතික ලෙස හැඳින්වේ, මන්ද X හි ගුණකයේ x සහ y විවිධ මූලද්රව්ය සඳහා, y මූලද්රව්යය y මූලද්රව්යයේ දක්නට නොලැබෙන බැවින්, x මූලද්රව්යය y මූලද්රව්යය සමඟ ලබා දී ඇති අනුපාතයෙහි ඇති බැවිනි. x මූලද්රව්ය සමඟ අනුපාතය ලබා දී ඇත.
R - X" මත ප්රතිසමමිතික (xRy සහ xy ≠ yRx)
සටහන: මෘගයාට බත් යනු අතීතය නැවත සිහිපත් කිරීමයි.
ප්රතිසමමිතික පෙළගැස්මේ ප්‍රස්ථාරයේ, ලකුණු දෙකකට ඊතල එකකට වඩා චලනය කළ හැකිය. එවැනි දිගුවක බට් යනු vіdrіzkіv සඳහා "dovshe" හි දිගුවකි (රූපය 42). දෘශ්‍ය සමාන්තරකරණය, ලම්බකතාව සහ ඒකාකාර බව ප්රතිසමමිතික නොවේ. Іsnuyut vіdnosiny, yakі නොවේ є nі සමමිතික, nі antisymmetrical, උදාහරණයක් ලෙස, ප්රකාශනය "සහෝදරයෙක් වන්න" (පය. 40).
4. ගුණකය X මත ඇති R සම්බන්ධතාවය සංක්රාන්ති ලෙස හැඳින්වේ, මන්ද x මූලද්රව්යය y මූලද්රව්යය සමඟ ලබා දී ඇති සම්බන්ධතාවයේ සහ y මූලද්රව්යය z මූලද්රව්ය සමඟ ලබා දී ඇති සම්බන්ධතාවයේ බැවින්, x මූලද්රව්යය ලබා දී ඇති සම්බන්ධතාවයේ ඇති බැවිනි. Z මූලද්රව්යය
R - A≠ මත සංක්රාන්ති (xRy සහ yRz=> xRz)
vіdnosin “dovshe” හි ප්‍රස්ථාරවල සමාන්තරකරණය සහ කුඩා 42 හි සමානාත්මතාවය, ඊතලය පළමු මූලද්රව්යයේ සිට අනෙකට සහ අනෙක් සිට තුන්වන ස්ථානයට ගිය බව ඔබට සටහන් කළ හැකිය, එවිට obov'yazkovo යනු ගිය ඊතලයයි. පළමු මූලද්රව්යයේ සිට තෙවන දක්වා. වර්ණ නිල් සහ සංක්රාන්ති වේ. vіdrіzkіv වෙත ලම්බකතාව සංක්රාන්ති විය නොහැක.
Іsnuyut іnshі බලය vіdnosin mіzh මූලද්රව්ය odnіієї mulіnі, yakі mi razglyadєmo නොවේ.
එක හා සමාන මතකයක් බලධාරීන්ගේ අංකුර මවක් විය හැකිය. ඉතින්, උදාහරණයක් ලෙස, bagatiokh vіdrіzkakh vіdnoshennia "සමානව" මත - reflexive, symmetrical, transitive; "වැඩි" යන ප්රකාශය සමමිතික සහ සංක්රාන්ති වේ.
එය බහු X හි ප්‍රකාශනයට වඩා ප්‍රත්‍යාවර්තී, සමමිතික සහ සංක්රාන්ති වේ, එය බහු මත සමානාත්මතාවය සැකසීමට සමාන වේ. එවැනි බ්ලූස් මුහුණ නැති X පන්තිය බිඳ දමයි.
නිල් පැහැයෙන් දත්ත දිස්වේ, උදාහරණයක් ලෙස, vikonannniy දිනයේ: “දිනයට අනුව සමාන අයගේ භාර්යාවන් රැගෙන කණ්ඩායම් වශයෙන් සකසන්න”, “සම පෙට්ටිවල එකම වර්ණයෙන් බෝල ඇති වන පරිදි බෝල විහිදුවන්න. ”. Vіdnosini සමානාත්මතාවය ("dovzhinі සමාන වන්න", "එකම වර්ණයෙන් යුක්ත වන්න") පංතියේ බොහෝ පිරිමින් සහ පිරිමින් බිඳ දැමීම මේ ආකාරයෙන් හඟවයි.
ගුණකය 1 හි ප්රකාශනය සංක්රාන්ති සහ ප්රතිසමමිතික නම්, එය ගුණකය මත අනුපිළිවෙල සැකසීම ලෙස හැඳින්වේ.
නව අනුපිළිවෙලක කාර්යයකින් නිර්නාමික භාවය නිර්නාමික නියෝගයක් ලෙස හැඳින්වේ.
උදාහරණයක් ලෙස, vykonuyuchi zavdannya: "පළල සඳහා භාර්යාවන් සුසර කර ඒවා පළලින් පළලට සකසන්න", "සංඛ්යා සුසර කර සංඛ්‍යාත්මක කාඩ්පත් පිළිවෙලට තබන්න", ළමයින් භාර්යාවන්ගේ බහුත්වයේ අංග සහ සංඛ්‍යාත්මකව සකස් කරති. වොඩ්නොසින් ඇණවුමේ උපකාරය සඳහා කාඩ්පත්; "බුටි පුළුල්", "එය සඳහා".
Vzagali v_dnosini සමානාත්මතාවය සහ අනුපිළිවෙල බහු වචන වර්ගීකරණය සහ අනුපිළිවෙල පිළිබඳව ළමුන් තුළ නිවැරදි ප්රකාශනයන් ගොඩනැගීම සඳහා විශාල කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි. අනෙක් පැත්තෙන්, වෙනත් විචල්‍යයන් රාශියක් ඇත, නමුත් ඒවා සමානතාවයේ සමාන පද නොවේ, ඒවා පිළිවෙලට නැත.
6. ගුණ කිරීමේ බලයේ ලක්ෂණය කුමක්ද?
7. ගුණාකාර තිබිය හැකි ස්ටෝක්ස් මොනවාද? සමේ තත්ත්වය පිළිබඳ පැහැදිලි කිරීමක් ලබා දී ඉයුලර්ගේ ඝාතකයාගේ උපකාරය සඳහා ඒවා නිරූපණය කරන්න.
8. ගුණකයකුගේ පත්වීම ලබා දෙන්න. ගුණාකාරවල බට් එකක් ගෙන එන්න, ඒවායින් එකක් තවත් ගුණාකාරයකි. අමතර සංකේත සඳහා ඔබේ සටහන ලියන්න.
9. සමාන ගුණ කිරීමේ අගය දෙන්න. සමාන කට්ටල දෙකක බට් දෙන්න. අමතර සංකේත සඳහා ඔබේ සටහන ලියන්න.
10. කට්ටල දෙකක හරස්කඩක් නම් කිරීම සහ සම සුමට පහත වැටීමක් සඳහා Euler's kil උපකාරය සඳහා යෝග නිරූපණය කරන්න.
11. ගුණ කිරීම් දෙකක් ඒකාබද්ධ කිරීමේ අරමුණ ලබා දී සම okremny vpadka සඳහා Euler's kіl උපකාරය සඳහා යෝග නිරූපණය කරන්න.
12. ගුණක දෙකක වෙනස නම් කිරීම සහ සමේ සිනිඳු කුෂ්ඨ සඳහා Euler's kil උපකාරය සඳහා එය නිරූපණය කරන්න.
13. ඉයුලර්ගේ කිල්ගේ උපකාරය සඳහා විශේෂ අතිරේකයක් ලබා දී යෝගෝ නිරූපණය කරන්න.
14. පන්තියේ පහර දුන් ගුණකයේ නම කුමක්ද? නිවැරදි වර්ගීකරණය නම් කරන්න.
15. දෙකක් අතර බහුගුණය ලෙස හඳුන්වන්නේ කුමක්ද? vidpovidnosti ක්රම නම් කරන්න.
16. සාක්ෂි අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් නොපැහැදිලි ලෙස හඳුන්වන්නේ කෙසේද?
17. සමාන ලෙස හඳුන්වනු ලබන ගුණාකාර මොනවාද?
18. සමාන ලෙස හඳුන්වනු ලබන ගුණාකාර මොනවාද?
19. ෆේස්ලස් මත ස්ටෝසන්කිව් සැකසීමේ ක්රම නම් කරන්න.
20. ගුණත්වය ප්‍රත්‍යාවර්ත ලෙස හඳුන්වන්නේ කෙසේද?
21. ගුණ කිරීම සමමිතික ලෙස හඳුන්වන්නේ කෙසේද?
22. ගුණ කිරීම ප්රතිසමමිතික ලෙස හඳුන්වන්නේ කෙසේද?
23. ගුණ කිරීම සංක්රාන්ති ලෙස හඳුන්වන්නේ කෙසේද?
24. සමානාත්මතාවය පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීමක් දෙන්න.
25. ඇණවුමේ සටහනක් දෙන්න.
26. ඇණවුම් ලෙස හඳුන්වන ගුණිතයක් යනු කුමක්ද?